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收藏2026年高联二试（A卷）几何题的解答
1. 题目 如图，在锐角三角形 ABC 中，AB<AC，AD 是 BC 边上的高，H 为垂心，O 为外心，N 为 HO 的中点，线段 BD 内一点 P 满足 ∠PND=2∠PAD。 证明：直线 BC 与三角形 AOP 的外接圆相切。 2. 分析 这个题虽然本身和Humpty点不直接相关，但是如果知道其性质，可以帮助我们找到思路。 首先，∠PND=2∠PAD 的条件比较好处理，直接取 AP 中点 E... 
2026年CNMO几何题的解答（一）
1. 题目 如图，已知 △ABC 的外接圆、内切圆分别为 ⊙O、⊙I，⊙I 与边 BC、CA、AB 分别切于点 D、E、F。过点 D 作 DS⊥EF 于点 S。若 ⊙O 与以 AI 为直径的圆的第二个交点为 T，证明：T、S、I 三点共线。 2. 解法一：同一法+配极 设 S′=EF∩TI，Q=AT∩BC。 以下极点、极线的讨论都是基于 ⊙I。 点 S′ 在 A 的极线 EF 上 ⟹ 点 A 在 ... 
2026年CSMO的几何题的解答（二）
1. 题目 如图，在锐角 △ABC 中，AB>BC>AC，O 为外心，H 为垂心。设直线 AO 分别与直线 BH、CH 交于点 D、E，记 △DEH 的外心为 O1，线段 AO1 上一点 T 满足 B、T、H、C 四点共圆，BC 延长线上一点 S 满足 SA=ST。 证明：∠STH=∠OAO1。 2. 分析 这又是一道典型的和「Humpty点」相关的题目。在之前的文章中，我们介绍了一些Hum... 
2026年中国数学奥林匹克几何题的解答（一）
1. 题目 如图，在 △ABC 中，AB<AC，M 为边 BC 的中点，D 为 ∠BAC 的平分线与 BC 的交点，P 为 D 关于 A 的对称点，Q 为 △PBC 的外接圆上一点，满足 MQ∥AD，且 P、Q 位于 BC 的两侧，PQ 与 AM 交于点 R，证明：∠RBQ=∠RCQ。 2. 分析 这个题的关键，是证明点 R 和点 A 关于 △PBC 等角共轭。 点 A 处的等角处理起来比较简单，... 
关于新课标初中数学教材的评价
看到了「全国小学、初中阶段将完成新教材的全部替换」的新闻，正好来看一下新课标（2022版）教材的变化。 人教版初中数学的教材距离上一次改版（2013版）确实很久远了，也的确很有改的必要。 由于「国家中小学智慧教育平台」上还没有上线九下的新版教材，这里的比较只包含前五本。 整体来看，教学内容基本没变，主要是优化了章节编排和学习顺序，例题和习题数量也明显增加。 在旧版的教材中，很多知识点在讲完之后并没...
2026年CWMI的几何题的解答（二）
1. 题目 如图，锐角 △ABC 的垂心为 H，BD、CE 是高。设 △ABC 内的一点 P 在 △BHC 的外接圆上，直线 BP 与 AC 交于点 Q，直线 CP 与 AB 交于点 R。求证：DE 平分线段 QR。 2. 分析 这个题目一眼看过去，就和所谓的「Humpty点」（或「HM点」）相关： 我们作 △ABC 的中线 AM，交 △BHC 的外接圆（记为 Γ）于点 X，则点 X 即为「Hum... 
2026年CWMI的几何题的解答（一）
1. 题目 如图，过圆 ω 上一点 A 作切线 l，在 l 上取关于 A 对称的两点 A′、A′′。过 A′ 作 ω 的一条割线与 ω 交于 P、Q，过 A′′ 作 ω 的一条割线与 ω 交于 S、T。过 A 作 PQ、ST 的平行线，分别与 ω 再次交于点 X、Y。设 M 是 QS 的中点，求证：AM、QY、SX 三线共点。 2. 分析 这个题要证明的是三线共点，如果能够想到使用角元塞瓦定理来证... 
2026年CGMO的几何题的解答
1. 题目 如图，在 △ABC 中，∠BAC>90∘，D 是 A 关于 BC 的对称点。点 P 在 AB 的延长线上，∠ACP 的平分线交 AB 于点 X。边 BC 上的点 Q 满足 ∠XQB+∠AXC=90∘。求证：∠PDQ+∠BAC=180∘。 2. 分析 显然，这里面第一步就是要想如何处理互余的条件。 2.1. 如何处理条件 注意到 CX 是一条角平分线，因此我们可以考虑内、外角平分线的夹角... 
2026 年 IMO 的几何题的解答
1. 题目 在三角形 ABC 中，点 M 和 N 分别是边 AB 和 AC 的中点。在三角形 BMC 和三角形 BNC 的内部分别选取点 K 和 L，使得点 K 在三角形 ABL 的内部，点 L 在三角形 AKC 的内部。已知 ∠KBA=∠ACL,∠LBK=∠LNC,且∠LCK=∠BMK. 设 O 是三角形 AKL 的外心。证明：OM=ON。 2. 分析 这个题乍一看，给的三个等角条件比较奇怪，特... 
本地部署Gemma4-26B-A4B模型
1. 前情提要 之前我在本地部署了Hy-MT2翻译模型，效果非常好，现在已经是我主力使用的翻译引擎了。 于是，我想再尝试一下如今本地能够部署的大模型的能力。 之前在Qwen2.5和DeepSeek-R1的时代都曾经尝试过本地部署，但是10B以内的模型效果不太满意，10B以上的模型速度太慢，20B以上基本就是在跳字，每次都是试过几下就放弃了。 这次先尝试了Qwen3.5-9B及它的一些微调版（包括O... 
不间断空格的处理方法
最近在处理文本的时候多次遇到不间断空格，开始没有注意，后来造成了不小的麻烦。这里记录一下它的处理方法。 1. 定义 不间断空格，或称 不换行空格，Unicode代码为 U+00A0，用来避免一些内容因为换行而分开。 例如，如果在 3 cm 之间使用空格，可能会导致在换行的时候把数字和单位分开，这时可以在中间使用不间断空格，就能保证即使在换行的位置也不会被分在两行。 2. 查找方法 不间断空格在一些...
一个VSCode插件：支持TikZ预览
1. 起因 我的博客文章里面的插图大部分都是使用TikZ画的，而这个没有办法直接预览，就导致我需要在多个编辑器之间不断切换。 大致流程是这样的： 使用VSCode写文章的主体。（可以自动在编辑LaTeX的时候切换中英文） 期间使用VSCode写单独的TikZ代码。（可以自动补全TikZ函数） 同时使用KtikZ预览TikZ代码。（可以实时预览图片，方便修正语法错误和微调） 之后利用pdf2svg将... 
在Neovim中支持LuaLaTeX高亮
1. 遇到的问题 我的博客文章里面的几何图形的源代码很多都使用了 tkz-elements 宏包。它利用Lua代码来求点的坐标，详细介绍见之前的文章。 tkz-elements 的缺点就是它的一些高级API还不稳定。 例如，这次我就发现之前写的很多代码都没法正常编译了，细查原来是它的 c_l_pp 函数（过直线外两点作与已知直线相切的圆）的语法变了。 不过在使用Neovim查看源代码的时候有...
2026年全国I卷压轴题的解答
1. 题目 已知函数 f(x) 的定义域为 R，且当 x<0 时，f(x)=2x。对任意 x0∈R，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}。 （1）若当 x⩾0 时，f(x)=1−x，求 D(−1)； （2）若 f(x) 是奇函数，f(x1)⩽f(x2)，且 x1x2=0，证明：D(x2)⊆D(x1)； （3）设 f(x) 满足：① 若 f(x1)... 
2026年北京高联预赛的几何题的解答
1. 题目 如图，在锐角 △ABC 中，M 是 BC 的中点，D、E 为 △ABC 内两点，满足 D 在 △ABM的外接圆上，E 在 △ACM 的外接圆上，且 MD⊥ME。延长 MD、ME 分别交 AC、AB 于 F、G。已知 D、E、G、F 共圆，求证：MD 平分 ∠AMC。 2. 分析 这个题最直接的做法就是用三角来算，思路简单，但是计算稍微有些麻烦。 如果使用几何法，关键是证明点 A 也和 ... 
垂足三角形、等角共轭点与「六点圆」
起因 我在使用Qwen3.7-Max重测今年USAMO第5题的时候，发现它找到了一个之前AI都没有发现的结论：点 N 是 K 关于 △OAOBOC 的等角共轭点。 这其实是一个一般成立的结论： 设点 K 关于 △OAOBOC 三边的对称点为 D、E、F，则 △DEF 的外心 N 是点 K 关于 △OAOBOC 的等角共轭点。 我在看到这个题的时候，由于解得比较快，加之当时主要是想... 
本地部署 Hy-MT2 翻译模型
最近，官方新释出了 GGUF版本 的Hy-MT2-30B-A3B模型，我又对它进行了测试。 运行命令如下： 测试结果如下： 模型 prompt K&V缓存量化 BLEU chrF++ 时间 Hy-MT2-30B-A3B: Q4_K_M user Q8_0 61.09 37.52 27:08 Hy-MT2-30B-A3B: Q4_K_M system Q8_0 61.09 37.52 27:43 比... 
Vibe Coding一个Python版本的pdf2svg
我的博客里面的插图很多都是用Tikz写的，然后编译成PDF再转换为SVG，具体的流程见之前的文章。 这里面关键的一步就是如何 将PDF转换为SVG。 我能找到的唯一一个工具就是 pdf2svg，但是它非常简单，而且并不完全符合我的需要。 例如，我发现直接生成的SVG图片太小了，需要放大到1.5倍，里面的字母才会和正文中的字母大小基本一致。这就必须要修改源代码才能解决： 最近看到了 这篇文章，作者使... 
2026 年 USAMO 的几何题的解答（一）
1. 题目 Let ABC be a triangle. Points D, E, and F lie on sides BC, CA, and AB, respectively, such that ∠AFE=∠BDF=∠CED. Let OA, OB, and OC be the circumcenters of triangles AFE, BDF, and CED, respecti... 