2026年CWMI的几何题的解答（一）

1. 题目

如图，过圆 ω 上一点 A 作切线 l，在 l 上取关于 A 对称的两点 A′、A′′。过 A′ 作 ω 的一条割线与 ω 交于 P、Q，过 A′′ 作 ω 的一条割线与 ω 交于 S、T。过 A 作 PQ、ST 的平行线，分别与 ω 再次交于点 X、Y。设 M 是 QS 的中点，求证：AM、QY、SX 三线共点。

2. 分析

这个题要证明的是三线共点，如果能够想到使用角元塞瓦定理来证明，剩下的倒角就是trivial的了。

另外，注意到这个题目中 P、T 两点其实没什么作用​（并不是），我们可以把原图看成是以 △AQS 的外接圆为基础进行的构造，而且其中只有一个长度条件（还是中点），因此可以考虑使用重心坐标来进行计算。

3. 解法一：角元塞瓦定理

只需证

sin∠MQAsin∠SAM​⋅sin∠YQSsin∠AQY​⋅sin∠XSAsin∠QSX​=1

即可。

由 M 是 QS 的中点可知

sin∠MQAsin∠SAM​=ASAQ​

注意到 ∠A′AQ=∠AXQ，AX∥A′Q⟹∠A′QA=∠QAX，因此 △A′QA∼QAX，∠A′=∠AQX。

同理可证，△A′′SA∼△SAY，∠A′′=∠ASY。

因此

sin∠YQSsin∠AQY​=sin∠YASsin∠ASY​=sin∠ASA′′sin∠A′′​=AA′′AS​

且

sin∠XSAsin∠QSX​=sin∠XQAsin∠QAX​=sin∠A′sin∠AQA′​=AQAA′​

结合 AA′=AA′′ 可知结论成立。

4. 解法二：重心坐标

为了方便叙述，我们将题目改成下面的形式：

如图，ω 是 △ABC 的外接圆，过点 A 作 ω 的切线 l，在 l 上取关于 A 对称的两点 A′、A′′。过 A 作 A′B、A′′C 的平行线，分别与 ω 再次交于点 X、Y。设 M 是 BC 的中点，求证：AM、BY、CX 三线共点。

以 △ABC 为参考三角形建立重心坐标系，则 A=(1,0,0)，B=(0,1,0)，C=(0,0,1)，M=(0:1:1)，ω 的方程为

a2yz+b2zx+c2xy=0

切线 l 的方程为

c2y+b2z=0

切线方程的推导

设过点 A 的切线与直线 BC 交于点 K，则 △KAC∼△KBA，于是

KAKB​=KCKA​=ACAB​=bc​⟹KCKB​=KAKB​⋅KCKA​=b2c2​

因此点 K 的坐标为 (0:−b2:c2)，直线 AK 的方程为

c2y+b2z=0

设切线上的两点 A′=(m:b2:−c2)，A′′=(n:b2:−c2)，则由 A 是 A′A′′ 的中点可知

(​m+b2−c2m​+n+b2−c2n​:m+b2−c2b2​+n+b2−c2b2​:m+b2−c2−c2​+n+b2−c2−c2​)=(1:0:0)​

故

m+b2−c21​+n+b2−c21​=0

不妨设 m+b2−c2=t，n+b2−c2=−t，显然 t=0。

直线 A′B 的方程为 c2x+mz=0，设直线 AX 的方程为 y−kz=0（k=0），则由 A′B∥AX 可知

​c201​011​m−k1​​=0⟹k=c2m−c2​=c2t−b2​

联立 AX 与 ω 的方程，可解得 X 的坐标为

X​=(−a2k:⋯:b2+c2k)=(−a2k:kt:t)​

因此，直线 CX 的方程为 tx+a2y=0。

同理，直线 A′′C 的方程为 b2x−ny=0，设直线 AY 的方程为 y−lz=0（l=0），则由 A′′C∥AY 可知

​b201​−n11​0−l1​​=0⟹l=−n+b2b2​=t−c2b2​

联立 AY 与 ω 的方程，可解得 Y 的坐标为

Y​=(−a2l:⋯:b2+c2l)=(−a2:⋯:b2⋅l1​+c2)=(−a2:lt:t)​

因此，直线 BY 的方程为 tx+a2z=0。

又知直线 AM 的方程为 y−z=0，由

​tt0​a201​0a2−1​​=0

可知直线 BY、CX、AM 平行或交于一点。

注意到 BY 与 CX 的交点坐标为 (a2:−t:−t)，假设 BY∥CX，则有 a2−2t=0。可以验证，此时 A′B、A′′C 的交点 (mn,mb2,−nc2) 位于 ω 上，即原图中 P、T 两点重合，不合题意。

因此，原图中直线 QY、SX、AM 交于一点。