2026年CNMO的几何题的解答（一）

1. 题目

如图，已知 △ABC 的外接圆、内切圆分别为 ⊙O、⊙I，⊙I 与边 BC、CA、AB 分别切于点 D、E、F。过点 D 作 DS⊥EF 于点 S。若 ⊙O 与以 AI 为直径的圆的第二个交点为 T，证明：T、S、I 三点共线。

2. 解法一：同一法+配极

设 S′=EF∩TI，Q=AT∩BC。

以下极点、极线的讨论都是基于 ⊙I。

点 S′ 在 A 的极线 EF 上 ⟹ 点 A 在 S′ 的极线上。由 IS′⊥AT 可知 AT 为 S′ 的极线。

由 Q 在 S′ 的极线 AT 上、D 的极线 BC 上可知 Q 的极线为 DS′，因此 QI⊥DS′。因此

S=S′⟸DS′⊥EF⟸QI∥EF⟸QI⊥AI

作 IQ′⊥AI 交直线 BC 于 Q′。延长 AI 交 ⊙O 于 J，则 JI=JB=JC，即 J 是 △IBC 的外心。

由 Q′I⊥JI 可知 Q′I 是 △IBC 的外接圆的切线，因此

Q′I2=Q′B⋅Q′C

设直线 AQ′ 与 ⊙O 的另一个交点为 T′，则

Q′T′⋅Q′A=Q′B⋅Q′C=Q′I2

因此

△Q′T′I∼△Q′IA⟹∠Q′T′I=∠Q′IA=90∘

可知 ∠AT′I=90∘，因此 T′ 也在以 AI 为直径的圆上，故 T′ 与 T 重合，进而 Q′ 与 Q 重合。

因此 QI⊥AI，可知 S′ 与 S 重合，命题得证。

3. 解法二：相似+反演

设 P=AT∩EF。

易证

△DSE∼△BFI△DSF∼△CEI​⟹IFSE​=BFDS​⟹IESF​=CEDS​​⎭⎬⎫​⟹SFSE​=BFCE​

又易证

△ATE∼△AEP△ATF∼△AFP​⟹EPTE​=AEAT​=APAE​⟹FPTF​=AFAT​=APAF​​⎭⎬⎫​⟹TFTE​=PFPE​

由上面的相似还可知

AT⋅AP=AF2=AE2

我们以 A 为反演中心，AE 为反演半径建立反演变换，则 T↔P，因此 △ABC 的外接圆变为经过点 P 的直线。记 B、C 的反演点依次为 B′、C′，考虑 △AEF 和直线 B′C′，有

B′FAB′​⋅PEFP​⋅C′AEC′​=1

因此

PFPE​​=B′FAB′​⋅C′AEC′​=AF−ABAF2​ABAF2​​⋅ACAE2​AE−ABAE2​​=AB−AFAF​⋅AEAC−AE​=BFCE​​

可知

TFTE​=PFPE​=BFCE​=SFSE​

因此 S 在 ∠ETF 的平分线上。

由 IE=IF 可知 TI 平分 ∠ETF，因此 S 在直线 TI 上。

4. 解法三：硬算

DeepSeek-V4-Pro-0813和Qwen3.8-Max都给出了这个证明方法。

设 △ABC 的内径为 r，外径为 R，∠CAB=2α，∠ABC=2β，∠BCA=2γ，则 α+β+γ=90∘，且

r=4Rsinαsinβsinγ

不妨设 ABγ。

考虑 △DEF，易知

DE=2rcosγ,EF=2rcosα,FD=2rcosβ,∠FDE=90∘−α,∠DEF=90∘−β,∠EFD=90∘−γ​

因此

FSFMIM​=DFcos∠DFE=2rcosβsinγ=21​EF=rcosα=IFsin∠IFE=rsinα​

可知

tan∠AIS​=IMFM−FS​=rsinαrcosα−2rcosβsinγ​=sinαsin(β+γ)−2cosβsinγ​=sinαsin(β−γ)​​

设 ∠TAI=θ，则

AIAT​=sin∠IAFIF​=sinαr​=AIcos∠TAI=sinαrcosθ​​

又

AT=2Rsin∠TBA=2Rsin(2γ−(θ−α))=2Rcos(θ+β−γ)

因此

​⟹sinαrcosθ​=2Rsin(2γ−(θ−α))=2Rcos(θ+β−γ)⟹sinα4Rsinαsinβsinγ⋅cosθ​=2Rcos(θ+β−γ)⟹2sinβsinγ⋅cosθ=cos(θ+β−γ)⟹[cos(β−γ)−cos(β+γ)]⋅cosθ=cosθcos(β−γ)−sinθsin(β−γ)⟹cos(β+γ)cosθ=sinθsin(β−γ)⟹cotθ=sinαsin(β−γ)​​

故

tan∠AIT=cot∠TAI=sinαsin(β−γ)​=tan∠AIS

可知 T、S、I 三点共线。