2026 年 IMO 的几何题的解答

1. 题目

在三角形 ABC 中，点 M 和 N 分别是边 AB 和 AC 的中点。在三角形 BMC 和三角形 BNC 的内部分别选取点 K 和 L，使得点 K 在三角形 ABL 的内部，点 L 在三角形 AKC 的内部。已知

∠KBA=∠ACL,∠LBK=∠LNC,且∠LCK=∠BMK.

设 O 是三角形 AKL 的外心。证明：OM=ON。

2. 分析

这个题乍一看，给的三个等角条件比较奇怪，特别是后两个。

事实上，在后续的大模型测试中，DeepSeek、GLM、Qwen 都在这里翻车了，完全没搞明白这几个角度应该如何使用。

实际上，如果我们把 BK、CL 延长分别和 AC、AB 相交，交点依次为 Y、X，立马就能够得到三组共圆：

• ∠KBA=∠ACL⟹BCYX 共圆，记为 Ω1​。
• ∠LBK=∠LNC⟹BLNY 共圆，记为 Ω2​。
• ∠LCK=∠BMK⟹CKMX 共圆，记为 Ω3​。

接下来，我们来看 △AKL 的外接圆，记为 Γ。

如果作图比较严格的话，马上能够发现 Ω1​ 的圆心 O1​ 就在 Γ 上，而且恰好是点 A 的对径点。

设 Γ 和 AB、AC 的另外的交点分别为 S、T，则有 O1​S⊥AB，O1​S⊥AC。于是 S、T 就是 Ω1​ 中的弦 BX、CY 的中点。

另外还可以发现，Γ 与 Ω2​、Ω3​ 的另外的交点 L′、K′ 就在 CL、BK 上。

因此，我们可以去证明上面这八个点 A、K、L、K′、L′、S、T、O1​ 都共圆。

可以看到，Ω1​、Ω2​、Ω3​、Γ 这四个圆的根心为 BY 和 CX 的交点。

在最开始的时候，我一直在围绕这个点做文章，导致没有找到合适的证明共圆的方法，于是就转而解析的方法了。

注意到这几个圆和 △ABC 三边的交点都非常好，因此我们可以考虑直接使用重心坐标系进行计算。

需要注意的是，这里不要直接去求点 K、L 的坐标，而是分别计算 Γ 和 Ω2​、Ω3​ 的根轴（两圆方程相减），证明它们恰好就是 CX、BY 即可。

在证明完共圆之后，接下来的问题是如何证明 OM=ON。

由 MN∥BC 可知 MNYX 也共圆，记为 Ω4​，设其圆心为 O′。则

OM=ON⟺OO′⊥MN⟺MN∥Γ 和 Ω4​ 的根轴

接下来我们只需要找到 Γ 和 Ω4​ 的根轴即可。

考虑 Γ、Ω4​ 和 Ω2​，它们的根心为 LL′∩NY=C。

考虑 Γ、Ω4​ 和 Ω3​，它们的根心为 KK′∩MX=B。

因此，Γ 和 Ω4​ 的根轴就是 BC，显然满足前面的要求。

实际上，直接验证点 B 和 C 对两圆的幂即可。

这样，我们就完成了最终的证明。

3. 解答

3.1. 处理角度相等的条件

设 X=AB∩CL，Y=AC∩BK。

由 ∠KBA=∠ACL 可知 B、C、Y、X 共圆，记为 Ω1​。

由 ∠LBK=∠LNC 可知 B、L、N、Y 共圆，记为 Ω2​。

由 ∠LCK=∠BMK 可知 C、K、M、X 共圆，记为 Ω3​。

设 BK 与 Ω3​ 的另一个交点为 K′，CL 与 Ω2​ 的另一个交点为 L′。

设 S、T 分别为 BX、CY 的中点。接下来我们证明：K′、L′、S、T 都在 △AKL 的外接圆（记为 Γ）上。

3.2. 证明共圆

以 △ABC 为参考三角形建立重心坐标系，其中 a=BC，b=CA，c=AB，则 A=(1,0,0)，B=(0,1,0)，C=(0,0,1)，M=(1:1:0)，N=(1:0:1)。

设 AX=t⋅AB，AY=s⋅AC。由 AB⋅AX=AC⋅AY 可得 c⋅tc=b⋅sb，因此

st​=c2b2​

可知 X=(1−t,t,0)，S=(1−t:1+t:0)，Y=(1−s,0,s)，T=(1−s:0:1+s)。

在下面的证明中，我们用到如下结论：

在重心坐标系中，圆的一般方程为

−a2yz−b2zx−c2xy+(ux+vy+wz)(x+y+z)=0

其中，u、v、w 分别是点 A、B、C 到该圆的幂。

考虑 △AST 的外接圆（记为 Γ′），有

uvw​=0=BA⋅BS=c⋅21​(1−t)c=21​c2(1−t)=CA⋅CT=b⋅21​(1−s)b=21​b2(1−s)​

考虑 Ω3​，有

uvw​=AM⋅AX=21​c⋅tc=21​c2t=BM⋅BX=21​c⋅(1−t)c=21​c2(1−t)=0​

因此 Ω3​ 和 Γ′ 的根轴的方程为

[21​c2t⋅x+21​c2(1−t)⋅y+0⋅z]−[0⋅x+21​c2(1−t)⋅y+21​b2(1−s)⋅z]=0

化简可得

c2t⋅x−b2(1−s)⋅z=0⟹sx−(1−s)z=0

即为直线 BY。因此 Ω3​ 和 BY 的交点 K、K′ 在 Γ′ 上。

同理可证，Ω2​ 和 Γ′ 的根轴为直线 CX，Ω2​ 与 CX 的交点 L、L′ 也在 Γ′ 上。

因此 Γ′=Γ。

3.3. 证明最终的结论

注意到 M、N 分别是 AB、AC 的中点，因此

AB⋅AX=AC⋅AY⟹AM⋅AX=AN⋅AY

因此 M、N、Y、C 共圆，记为 Ω4​。

又因为 S、T 分别是 BX、CY 的中点，因此

BS⋅BACT⋅CA​=BX⋅BM=CY⋅CN​

可知 BC 是 Γ 和 Ω4​ 的根轴，因此

OO′⊥BC⟹OO′⊥MN⟹OM=ON

3.4. 证明共圆的另一种方法

设 Ω2​ 与 AB 的另一个交点为 U，Ω3​ 与 AC 的另一个交点为 V。由

AB⋅AU=AN⋅AY=21​AC⋅AY=21​AB⋅AX

因此 U 是 AX 的中点。同理可证，V 是 AY 的中点。

由

XA⋅XS=2XU⋅21​XB=XU⋅XB=XL⋅XL′

可知 A、L′、S、L 共圆。同理可证，A、K′、T、K 共圆。

由

BA⋅BS=2BM⋅21​BX=BK⋅BK′

可知 A、S、K、K′ 共圆。同理可证，A、T、L、L′ 共圆。

因此 A、K、K′、S、T、L、L′ 共圆。

4. 大模型测试

可惜的是，DeepSeek V4、GLM 5.2、Qwen 3.7/3.8 Max 都未能给出这道题目的证明（要求不使用解析的方法）。

甚至它们在第一步就栽了，完全没有想到构造 X、Y 两个点来证明共圆，都在想办法直接用这些角度去证明相似。（例如去证明 △BMK 和 △CNL（或者 △KCL）相似。）

如果你告诉它这些相似不成立，它又会去证明 AK=AL。

GLM 5.2 甚至一上来就认为「MN 的垂直平分线就是 BC 的垂直平分线」，后面自然也就都不对了。

后来我又尝试把前三个共圆的步骤给出来，让它顺着这个思路往下证，但还是没有成功。

DeepSeek V4 此时想到了要考虑根轴和圆幂，但是最终还是直接跳步到结论，变成了伪证。

Qwen 3.8 Max Preview 则是给出了一个长达 78 步的证明，里面混杂了纯几何、向量、三角的方法，根本看不下去。扫了一眼，里面有几个相似和线段相等的结论是错误的，其它部分也就没有再看了。

感觉是因为思考内容太长导致了思考过程意外终止，于是在输出的时候是依然按照思考的流程在走。

之前在使用 Qwen 模型和 Gemma 模型的时候都遇到过这种情况。