2026年高联二试（A卷）几何题的解答

1. 题目

如图，在锐角三角形 ABC 中，AB<AC，AD 是 BC 边上的高，H 为垂心，O 为外心，N 为 HO 的中点，线段 BD 内一点 P 满足 ∠PND=2∠PAD。

证明：直线 BC 与三角形 AOP 的外接圆相切。

2. 分析

这个题虽然本身和Humpty点不直接相关，但是如果知道其性质，可以帮助我们找到思路。

首先，∠PND=2∠PAD 的条件比较好处理，直接取 AP 中点 E，显然 E、P、D、N 共圆。

接下来的问题是，如何处理中点 N，以及要如何证明结论。

我们先从结论出发。过点 A、O 且与直线 BC 相切的圆有两个，其中一个的切点为 P，我们设另一个的切点为 Q。显然，点 O 是 △APQ 的A-Humpty点。

关于Humpty点，除了前面的两篇文章1, 2里面介绍的性质之外，还有一个常用的性质：

设点 X 为 △ABC 的A-Humpty点。则

ABZC 为调和四边形 ⟺Z 和 X 关于 BC 对称

证明

先证明充分性。由点 X 的性质可知，点 Z 在 △ABC 的外接圆上，且在 △ABC 的A-Apollonius圆上，因此

ACAB​=ZCZB​⟹AB⋅ZC=AC⋅ZB⟹ABZC为调和四边形

另证：

设点 S 为 △ABC 的外接圆在点 A 处的切线与直线 BC 的交点，由点 X 的性质可知，SX 是 △BHC 的外接圆在点 X 处的切线。

由对称性可知，SZ 是 △ABC 的外接圆在点 Z 处的切线，因此 ABZC 为调和四边形。

由点 Z 的唯一性可知必要性也成立。

在本题中，我们作点 O 关于 BC 的对称点 Z，则 APZQ 为调和四边形。

同时，根据

AH=2OM⟹AH=OZ

可知 N 也是 AZ 的中点。

结合前面 E、P、D、N 共圆的条件，我们对称的取 AQ 中点 F，由位似可知 A、E、N、F 共圆，因此右边 F、Q、D、N 也共圆。

实际上，这个图本身就可以得到一个调和四边形的结论：

在 △APQ 中，AD 为高，E、F 分别是 AP、AQ 中点，点 N 是 D、E、F 关于 △APQ 的密克点，点 Z 是 A 关于 N 的对称点，则 APZQ 为调和四边形。

证明就是位似+简单的倒角即可。

到这里，我们基本就找到了证明所需的路径：

EPDN 共圆 ⟹ 调和四边形 APZQ⟹ Humpty点 O

3. 解答

作 O 关于 BC 的对称点 Z，则

OZ=AH,OZ∥AH⟹平行四边形AHZO⟹N为AZ中点

设 △APZ 的外接圆与直线 BC 交于另一点 Q，分别取 AP 中点 E、AQ 中点 F，则 EF∥PQ，△NEF∼△ZPQ。

由 E 是 AP 中点可知 EA=ED=EP，故

∠PED=2∠PAD=∠PND

因此 E、P、D、N 共圆。设其圆心为 O1​，则

ED=EP⟹EO1​⊥PD⟹EO1​⊥EF

可知 EF 为 ⊙O1​ 的切线，因此

∠ZPQ=∠NEF=∠APN

注意到 N 是 AZ 的中点，可知 APZQ 为调和四边形。故

∠OPQ∠OQP​=∠ZPQ=∠APN=∠ZQP=∠AQN​

因此 N 和 O 关于 △APQ 等角共轭，故

∠OAP=∠NAQ=∠ZPQ=∠OPQ

可知直线 BC 与三角形 AOP 的外接圆相切，结论成立。