2026年CGMO的几何题的解答

1. 题目

如图，在 △ABC 中，∠BAC>90∘，D 是 A 关于 BC 的对称点。点 P 在 AB 的延长线上，∠ACP 的平分线交 AB 于点 X。边 BC 上的点 Q 满足 ∠XQB+∠AXC=90∘。求证：∠PDQ+∠BAC=180∘。

2. 分析

显然，这里面第一步就是要想如何处理互余的条件。

2.1. 如何处理条件

注意到 CX 是一条角平分线，因此我们可以考虑内、外角平分线的夹角来构造 90∘。

我们作 ∠ACP 的外角平分线 CY，与 PA 的延长线交于点 Y。考虑以 XY 为直径的圆：

这是一个非常经典的图形──阿波罗尼斯圆（阿氏圆）。

在这个图形中，常用的几个结论如下：

• CX⊥CY；
• 在以 XY 为直径的圆上的任意一点 T，均满足 TPTA​=CPCA​；
• X、Y 调和分割 A、P。

由条件可知，

∠XQB=90∘−∠AXC=∠XYC

因此点 Q 就在这个阿氏圆上！

接下来处理要证明的结论，即 ∠PDQ。

2.2. 如何处理结论

有前面点 Q 的位置可知

PQDQ​=PQAQ​=PCAC​

而由结论可知 ∠PDQ 和 ∠PAC 是互补的，因此 sin∠PDQ=sin∠PAC。结合正弦定理可反推出

∠APC=∠QPD

这也是我们接下来考虑要证明的方向。

可以看到，△APC 和 △PQD 这两个三角形有两组边成比例，一个角相等，但是不相似。我们可以考虑如何利用 ∠APC 找到一个三角形与 △PQD 相似。

如果熟悉调和点列的话，会知道下面的结论：

设点 O 是 XY 的中点（即阿氏圆的圆心），由 P、X、A、Y 成调和点列可知

OA⋅OP=(21​XY)2=OC2

因此 △OAC∼△OCP。

于是 ∠OCP=∠OAC=180∘−∠PAC=∠PDQ。

因此我们要证明的相似就是

△OCP∼△QDP

当然，这个相似的两个等角都是我们通过结论反推出来的，没有办法直接证明，因此一个自然的思路就是转而去证明

△POQ∼△PCD

而这个证明比较简单了。

显然

∠POQ=2∠XCQ=∠PCD

其中后一个等式可以由题目中两个对称性的条件得到。

而对应的边的条件则需要利用前面调和点列得到的相似：

OPOQ​=OPOC​=CPAC​=CPCD​

这样就可以一路反推回去了。

3. 解答

设 △APC 的外角平分线 CY 与直线 AP 的延长线交于点 Y，则 ∠XCY=90∘，(A,P;X,Y)=−1。

由

∠XQB=90∘−∠AXC=∠XYC

可知 X、Q、C、Y 共圆。设其圆心为 O，即为 XY 的中点。

由 (A,P;X,Y)=−1 可知

OA⋅OP=(21​XY)2=OC2

于是有 △OAC∼△OCP，可知

∠OCP=∠OAC=180∘−∠BAC

且

OPOQ​=OPOC​=CPAC​=CPCD​

又注意到

∠XOQ=2∠XCQ=∠PCD

因此

△PQO∼△PDC⟹△PQD∼△POC

于是

∠PDQ=∠PCO=180∘−∠BAC

结论成立。