2026年CWMI的几何题的解答（二）

1. 题目

如图，锐角 △ABC 的垂心为 H，BD、CE 是高。设 △ABC 内的一点 P 在 △BHC 的外接圆上，直线 BP 与 AC 交于点 Q，直线 CP 与 AB 交于点 R。求证：DE 平分线段 QR。

2. 分析

这个题目一眼看过去，就和所谓的「Humpty点」（或「HM点」）相关：

我们作 △ABC 的中线 AM，交 △BHC 的外接圆（记为 Γ）于点 X，则点 X 即为「Humpty点」，它具有以下性质：

1. ∠XAB=∠XBC，∠XAC=∠XCB。
2. 点 X 是垂心 H 在中线 AM 上的投影，即 HX⊥AX。
3. 点 X 与 A、E、H、D 共圆，记为 ω。
4. 点 M 是 DE 关于 ω 的极点，即 MD、ME 是 ω 的切线。
5. B、M、X、E 共圆，C、D、X、M 共圆。

证明也不难，只需作出点 A 关于 M 的对称点 A′，则 A′ 也在 Γ 上。因此

MB2=MC2=MB⋅MC=MA′⋅MX=MA⋅MX

于是 △MBX∼△MAB，△MCX∼△MAC，可知结论1成立。

由 △ABH=90∘ 可知 AH 是 Γ 的直径，因此 ∠HXA′=90∘，可知结论2成立，进而结论3也成立。

注意到

MD=ME=MB=MC

因此

MD2=ME2=MX⋅MA

可知结论4成立。

同时可知 △MEX∼△MAX，△MDX∼△MAD，因此

∠MEX∠MDX​=∠MAE=∠MBX=∠MAD=∠MCX​

可知结论5成立。

后面基本就只剩下倒角了。

3. 解答

点 M 和 X 的定义如前所示。

注意到

∠RPQ=∠BPC=∠BHC=180∘−∠BAC

于是有 A、R、P、Q 共圆。

又由

∠RPX=∠XBC=∠RAX

可知 A、R、X、P 共圆。

因此 A、R、X、P、Q 共圆，故

∠XRQ∠XQR​=∠XAQ=∠XCB=∠XAR=∠XBC​}⟹△XQR∼△XBC

结合前面的 A、E、X、D 共圆，可知点 X 是完全四边形 ARENQD 的密克点，因此 R、E、X、N 共圆。故

∠XNQ=∠XER=∠XMB⟹△XQN∼△XBM

由 M 是 BC 的中点可知 N 也是 QR 的中点，命题得证。