2026年CSMO的几何题的解答（二）

1. 题目

如图，在锐角 △ABC 中，AB>BC>AC，O 为外心，H 为垂心。设直线 AO 分别与直线 BH、CH 交于点 D、E，记 △DEH 的外心为 O1​，线段 AO1​ 上一点 T 满足 B、T、H、C 四点共圆，BC 延长线上一点 S 满足 SA=ST。

证明：∠STH=∠OAO1​。

2. 分析

这又是一道典型的和「Humpty点」相关的题目。在之前的文章中，我们介绍了一些Humpty点相关的常见结论，基本上都和两个垂足相关。除此之外，还有如下结论：

设点 X 为 △ABC 的A-Humpty点。过点 A 作 △ABC 的外接圆的切线交直线 BC 于 S，则：

1. △ASM 的垂心为 AH 的中点，记为点 P。
2. SX 是 △BHC 的外接圆的切线。
3. S、P、X、M 共圆。
4. 点 X 在 △ABC 的A-Apollonius圆上，点 S 为其圆心。

显然，在本题中，点 T 就是 △ABC 的A-Humpty点，点 S 就是 △ABC 的外接圆与直线 BC 的交点。

因此，本题可以拆成两部分，先证明直线 AO1​ 经过 BC 中点，接下来再证明Humpty点的性质即可。

3. 解答

3.1. 步骤一：证明Humpty点

设 M 为 BC 中点。我们证明 A、O1​、M 共线。

3.1.1. 方法一

设 ∠BAC=α，∠ABC=β，∠BCA=γ。注意到

∠EDH=∠ABD+∠BAD=(90∘−α)+(90∘−γ)=β

同理可知，∠DEH=γ，因此 △ABC∼△HDE。于是有

∠EHO1​=90∘−β=∠BCH⟹O1​H∥BC⟹O1​H⊥AH

取 DE 中点 N，则 O1​N⊥DE，因此 A、N、O1​、H 共圆，可知

∠NAO1​=∠NHO1​=∠MAO

可知 A、O1​、M 共线。

当然也可以硬算

设相似比 k=ACEH​，则由

sin(α−(90∘−γ))CE​=sin(180∘−γ)AC​cosγCH​=sinγAB​​⟹CE=AC⋅sinγcosβ​⟹CH=AB⋅sinγcosγ​​

可知

k​=ACCE−CH​=sinγcosβ​−sinβsinγ​⋅sinγcosγ​=sinγsinβsinβcosβ−sinγcosγ​=2sinγsinβsin2β−sin2γ​=sinγsinβcos(β+γ)sin(β−γ)​=sinγsinβcosαsin(γ−β)​​

由 O1​ 是 △DEH 的外心可知

2O1​H=sinαDE​

因此

tan∠O1​AH=AHO1​H​=sinαBC​⋅cosα2sinαDE​​=2cosαk​=2sinγsinβsin(γ−β)​

而

tan∠MAH​=ABsinβABcosβ−21​BC​=2sinγsinβ2sinγcosβ−sinα​=2sinγsinβ2sinγcosβ−sin(β+γ)​=2sinγsinβsin(γ−β)​​

因此 tan∠O1​AH=tan∠MAH，可知 A、O1​、M 共线。

3.1.2. 方法二：面积法

易知 △ABC∼∠HDE。

分别取 DH、EH 的中点 X、Y，由 O1​ 是 △DEH 的外心可知

O1​X⊥DHO1​Y⊥EH​⟹O1​X∥AC⟹O1​Y∥AB​

设 U=BH∩AC，V=CH∩AB，则

M∈AO1​​​⟸[O1​AB]=[O1​AC]⟸AB⋅YV=AC⋅XU⟸YVXU​=ACAB​​

分别作点 H 关于 AB 和 AC 的对称点 Hc​、Hb​，则 AHb​=AHc​=AH。易知

△ADHb​∼△ABC△AHc​E∼△ABC​⟹BCDHb​​=ACAHb​​⟹BCHc​E​=ABAHc​​​⎭⎬⎫​⟹Hc​EDHb​​=ACAB​

又 DHb​=2XU，EHc​=2YV，因此结论成立。

3.2. 步骤二：证明Humpty点的性质

由步骤一可知，点 T 为 A-Humpty 点，因此 ∠ATH=90∘。

设 P 为 AH 中点，则 AP=TP。设 Q 为 AT 中点，则 S、P、Q 共线。注意到 SQ⊥AM，AH⊥MS，可知点 P 是 △AMS 的垂心。因此

∠AMP=∠ASP=∠TSP

可知 T、M、S、P 共圆。

设 △BHC 的外心为 O2​。注意到 △ABC 的外接圆和 △HBC 的外接圆半径相等，因此四边形 OBO2​C 为菱形，O2​M=OM=21​AH=AP，可知四边形 O2​MAP 为平行四边形，故

∠MO2​P=∠MAP=∠MSP

可知 M、O2​、S、P 共圆。因此 T、M、O2​、S、P 共圆。

故 ∠O2​TS=∠O2​MS=90∘，可知 ST 为 △HBC 的外接圆的切线。于是

SB⋅SC=ST2=SA2

可知 SA 为 △ABC 的外接圆的切线，因此 ∠OAS=90∘。于是

∠STH=90∘−∠STA=90∘−∠SAT=∠OAO1​

4. 另一个解答

实际上，这个题不用Humpty点也能够做出来。

设 A 关于 BC 的对称点为 A′，则 SA=ST=SA′。

注意到

∠STH​=∠STA′−∠HTA′=∠STA−∠HBA′=(90∘−21​∠TSA′)−(β+90∘−γ)=γ−β−21​∠TSA′​

而

∠OAO1​​=∠OAH−∠O1​AH=(α−2(90∘−γ))−21​∠TSA′=α+2γ−180∘−21​∠TSA′=γ−β−21​∠TSA′​

因此 ∠STH=∠OAO1​。