2026 年 USAMO 的几何题的解答（一）

1. 题目

Let ABC be a triangle. Points D, E, and F lie on sides BC, CA, and AB, respectively, such that

∠AFE=∠BDF=∠CED.

Let OA​, OB​, and OC​ be the circumcenters of triangles AFE, BDF, and CED, respectively. Let M, N, and O be the circumcenters of triangles ABC, DEF, and OA​OB​OC​, respectively. Prove that OM=ON.

2. 翻译

在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且满足 ∠AFE=∠BDF=∠CED．设 OA​、OB​、OC​ 分别为 △AEF、△BFD、△CDE 的外心，M、N、O 分别为 △ABC、△DEF、△OA​OB​OC​ 的外心，求证：OM=ON．

3. 分析

首先，由密克定理可知 △AFE、△BDF、△CED 的外接圆交于一点，设为 K。

我们可以通过倒角，在图中找到大量等角：

可知 △ABC∼△EFD，而且这是一个旋转位似，中心就是点 K。

由此可知，点 M 和 N 也是这一个旋转位似变换下的对应点：

此时我们再考察 △OA​OB​OC​。注意到

∠KOA​OC​=21​∠KOA​E=∠KAE

于是我们又可以找到很多等角：

可知 △ABC∼△OA​OB​OC​，这也是一个旋转位似，中心还是点 K。点 M 和点 O 是这一个旋转位似的对应点。

实际上，点 K 是 △ABC、△EFD 和 △OA​OB​OC​ 的第二布洛卡点。

由旋转位似可知

△OA​OB​OC​∼△ABC△OA​OB​OC​∼△EFD​⟹△KOM∼△KOA​A⟹△KON∼△KOA​E​

由 OA​A=OA​K=OA​E 可知 OM=OK=ON。

4. 解答

参考原作者Serena An的解答，我懒得打了……

5. 大模型测试

输入：

结果：

• ：完美完成证明，甚至不需要开启Think Max模式。
• Qwen-3.6-max-preview(thinking)：整体框架正确，但中间一部分证明有误（伪造了一个错误的引理）。
• GLM-5-Turbo(thinking)：纯粹在瞎掰。
• GLM-5(thinking)：思考中终止会话（截至停止思路完全不对）。
• ：前面的思路正确，最后一步拉完了。
• GLM-5.1(thinking)(max_toekns=128K)（无问芯穹）：纯粹在瞎掰。
• minimax-m2.7(thinking)(max_tokens=4K)（无问芯穹）：思考中终止会话，还没找到思路。
• GLM-5.1(thinking)：思考中终止会话，不过实际上已经证出来了。

20260603更新：

• Qwen3.7-Plus(thinking)：只有第一步对，后面全错了。
• Qwen3.7-Max(thinking)：思路完全正确，最后一步的计算没有检验。而且发现了前面的证明都没有发现的一个结论（点 N 是 K 关于 △OA​OB​OC​ 的等角共轭点）。这是等角共轭点相关的一个经典结论，详见这篇文章。不过也因为这一点，最后一步证明走了弯路。

总体比较：

DeepSeek > 千问 > Kimi ≈ GLM

最终的结果还是比较符合我的刻板印象的……

又回去看了一下DeepSeek-V4的论文，确实和官方在HMMT和IMOAnswerBench测试集上的结果相符：

以及文中吐槽的那句：

We have left some entries blank for K2.6 and GLM-5.1, as their APIs were too busy to return responses to our queries.

嗯……确有体会……