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数学已经改变。让我们按此行事

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[这是一篇客座文章弗兰克·卡莱加里.这篇博客文章最初是用不同的文件格式写成，并用AI进行转换。—— T.]

为什么我们不应该感到难过

OpenAI于10月6日发布了700多篇研究论文，成为数学史上的一个分水岭。人工智能现在无疑具备在数学多个领域做出突破性贡献的能力。

那么，为什么有些数学家如此不满呢？

部分原因是人工智能公司对数学实践的明显忽视。尽管有许多极具创意的OpenAI论文，写得极其糟糕，违背了我们社区对归属的期待。其中一些甚至是错误的。

我们对如何招聘数学家、发表论文和培训学生的控制权远比对万亿美元公司的行为有更多控制权，这正是我们努力更值得投入的地方。

许多反应似乎反映了他们所热爱的主题正遭受攻击，正在被“掏空”的感觉。最近对 OpenAI 的发布几乎没有对 Langlands 程序中函子性和互反性等普遍问题产生影响。

但即使如此曾解决了兰兰兹计划中的每一个问题，认为“解决数论”就像说元素周期表的构造解决了化学一样天真。数学家们应该更好地解释，当我们谈论任何领域的核心问题时，我们只是讨论我们理解中最自然的边界——而解锁它们不是终点，而是寻找新探索空间的第一步。

当然，这需要时间。我寻找了那些“受影响更大”的数学领域。很难不被雨果·杜米尼尔-科平的观点所打动哀歌:

我职业生涯中公开提及的重大悬而未决问题（无论是演讲、讲座、文章，甚至资助申请）都没有被这次宣布触及。一切都被声称已经证明。我本以为会看到其中几个出现在名单上。但不是全部。不会一次性全部。不会如此漫不经心。

我会怎么回应？

有限单群的分类。

我对渗流理论说不多，但我认为数学家们还应关注另一个历史先例。1972年，丹·戈伦斯坦宣布了一个有限单群分类的计划。经过大约十年的热潮，戈伦斯坦于1983年宣布了“分类”（有些为时过早，因为准薄群的情况直到阿施巴赫和史密斯还要二十年后才完成）。

有限单群的分类在很多方面取得了巨大成功，但也是一个失败——向我的群论朋友和合作者致歉——它冷却了围绕该主题的许多兴趣。“著名问题”已经过去，数学家们普遍将注意力转向了别处。

然而，有限群论甚至分类本身仍存在非常丰富的问题（举一个例子：约翰·康威最喜欢的问题是怪物组织为什么存在？).也许对某些领域来说，OpenAI的倾倒感觉就像1970年群论家如果把分类信息直接扔进办公室，不是以实际文件的形式，而是用灵魂复制器打印出来，稍微晕开，然后像五彩纸屑一样随意撒满地板。

目前，我们需要像戈伦斯坦、莱昂斯和所罗门那样的努力，以及他们对修订分类的研究。如果这就是我们所能做的全部，那将是一项相当吃力不讨好的任务。

但我们也有责任不宣布这个主题“完成”，而是——借助这些新工具——值得进一步研究。当数学家哀叹银河绕道建设所遗漏的曲折路径时，他们需要意识到那些旧路径依然存在，并主动寻找它们。

当涉及到提供工作机会时，我们需要奖励这种行为。

人工智能的承诺，以及数学的（不）统一性：

从15岁起，我就想知道什么是真正的。起初，是童年时幻想找到一个公式，但欧拉没注意到。但很快我们会学到更多：格罗滕迪克的时期猜想，加上对泰特混合动机几何的足够细致理解（继承唐·扎吉尔、萨沙·冈查罗夫、弗朗西斯·布朗等人的研究），为发生的事情提供了完全令人满意的结构性和猜想性解释。

的非理性，甚至超越性，只是真正有趣底层问题的影子。阿佩里证明的非理性激励我多年，不是因为它的结论，而是因为它揭示了某个仍然秘密的故事——代数函数与算术的联系。

我希望人工智能能帮助数学家摆脱被第一个无法证明的自然猜想束缚的束缚，努力揭开贯穿我们学科的更深层谜团。在过去三十年里，人类在数学领域的进步令人瞩目。

但与此同时，我感到越来越不安;我多次看到各个层级的数学家无法向稍微超出自己领域的人解释他们为何所做的事情有趣，这让我感到痛心。

我们职业的自然规律明显倾向于更狭隘的技术专长，而非更宏大的愿景。人工智能为我们提供了一个极好的机会，拓宽了自己作为数学家的身份。

我曾尝试（并非总是成功）作为数学家保持广阔的方向。我得到一些帮助，因为我从17岁起就知道自己想从事代数数论和兰兰兹项目，但我是在墨尔本大学的熔炉中长大的，那里聚集了许多瑟斯顿学生和低维拓扑学家。

这意味着我浸淫在双曲三维流形的甜美利口酒中。这种接触极大地帮助了我的职业生涯。就像数学中任何两个深奥领域一样，双曲三维流形和算术比表面看起来更紧密相关。

但要成为两者的专家仍然很难，更别说追求一个疯狂的想法将它们结合起来了。让我稍微技术一点。对于每个虚二次域 ，存在许多紧致算术双曲三维流形的可通约类，这些流形由非分裂四元数代数索引。

这些可通约类中的流形通过将 分解为双曲四面体生成 中的元素，它们的体积总是 的有理倍数。我一直认为，可以将这些不同通约类中的元素设想为形成某种几何的科利瓦金系统（“希格纳点”），与 对应，可以通过某种未知的雅克-朗兰兹对应的积分算术版本将其束缚起来。

这不是我追求的问题，原因有二。首先，涉及太多潜在猜想，任何我能证明的结果都必须依赖于其中许多猜想，这在数学界并不总是被认可。

其次，要收集所有技术背景来精确提出这样的想法，需要大量的基础工作。现在有了人工智能，尝试这个问题的门槛要低得多。这不是在证明定理。

而是试图探索一些全新的方向，这可能完全是无稽之谈，也可能不是。数学中有许多问题依然新鲜且充满活力，但以前是不可触及的，因此能够解决它们的机会令人极为兴奋。

我们需要更有雄心，制定一年前根本无法想象的大胆研究计划。

这并不是说每个人都必须（或不一定）使用人工智能。但我们必须重新思考并调整什么才是重要的。无论是否使用人工智能，主要猜想的证明都将继续是新数学的一部分。但推动更广泛的项目（新旧）和结构性理解将发挥更根本的作用。克里斯蒂安·塞格迪提出了接下来要说：

数学以功绩为傲，对探险者怀有深深的敬意：那些能攀登无人能及之物的人。这种特定的英雄主义将变得不那么重要，其他技能将更重要：选择值得探索的地形，驾驶飞机编队，向世界解释他们所发现的一切。

我准备登机，因为我想看看那里有什么。同时，我还想补充一点，以前在地球上闭着眼睛走动的人，无论飞得多高，都认不出任何东西;我仍然相信，数学家现在拥有的许多技能不仅可以迁移，而且对新世界秩序至关重要。

乐观主义者和悲观主义者反应的区别在于，对悲观主义者来说，游戏已经结束。对乐观主义者来说，游戏已经改变。我承认我们珍视的数学文化中有些方面无法存续，而人性本应为这些失去而哀悼。

但现在存在了一个令人惊叹的新工具来研究数学。如果转过头去说现有的数学界比数学本身更重要，那将是一个严重的错误。

丑陋的真相。

尽管本博客和其他地方大家都在说数学是关于理解，但只要看看arXiv，就能发现我们行业里许多人急于发表AI辅助论文，显得有些不雅观，争先恐后地成为“第一个”证明者。

正如许多人所指出的，提出新颖证明的能力与展示理解能力或推动学科走向新颖有趣方向的能力之间，正迅速形成鸿沟。随着人们不断产出更多结果，莱顿宣言被更多地名义上尊重而非精神上，这似乎像是“照旧”，只是时间更紧凑，且不断面临被抢先报道的威胁。

对我来说，选择一个有价值的问题，完全用人工智能获得证明，彻底理解并用它来提出有趣的后续问题或方向的人，就已经做出了重大的数学贡献。

即使他们在原始证明中没有提供任何新元素，我也会给予他相当大的认可。选择有价值的问题可能最终比产生证明更重要。

我们对猜想的痴迷往往大大低估了那些让回答（甚至提出）这些问题成为可能的探索性工作。我们现在有犯这个错误的危险，因为我们鼓励或奖励大家急于按下按钮，尽快发布这些新结果。

我鼓励所有资深数学家（拥有终身教职的特权）承担起创造未来问题和探索新思想的工作，而不仅仅是用人工智能来回答现有问题。如果你作为资深数学家，担心被人工智能抢先一步，那说明你还不够有野心。

那我们到底打算怎么办？

除非思考文章提出了某种实际影响人们行为的机制，否则它们最终是毫无意义的。最有效的工具将是经济层面的，而非修辞层面的。数学家想要认可，数学家想要工作，数学家想要资助。

我们目前拥有的有效工具是期刊招聘和接受论文。

让我先提出一些非常基本的具体建议，然后补充一些细节。

  1. 评估所有工作时，就像AI辅助一样。
  2. 招聘时要更多地关注个人互动，而不是纸质文件。面试博士后和研究生，现场面试。
  3. 对期刊要求更多，放弃那些不适应的。
  4. 在研究生教育中更加重视广度，但不要放弃技术技能。
  5. 举办更好的研讨会。
  6. 对人工智能的结果承担更多责任感。

评价：

纳尔逊·科尔著名的花费三年的星期天发现素因式分解

在 中，这对数学的贡献。手工分解相同数值同样是一项令人印象深刻的算术壮举，但它对数学的贡献（即使此前未知）会少得多，因为这可以在计算机代数系统中用不到一秒完成。

显然，人工智能正在改变什么是“简单”或“困难”的经济学——关于定理经济即将崩溃的讨论已经很多。随着时间推移（或许很快），人们会重新认识到哪些仍对数学仍有重大贡献，无论是提出有趣的问题、开发新程序，还是完全不同的事情。

未来，我看不到任何理由奖励基于论文的文章纯粹无论机器是否能产生结果。即使机器已经得出结论，新的证明依然值得为其提出的思想获得大量赞誉。

那么，为什么不现在就开始呢？重要的是，我认为这绝不意味着在数学领域取得人工智能是必须的——只要我们继续重视人类理解。虽然我认为这是最具争议的建议，但我也认为这是最不可避免的。

这需要放弃我们奖励结构中一个存在已久的方面，但同时也要放弃一个未来将毫无意义的结构。目前，人工智能的使用带有污名，许多人工智能披露的措辞更像是在试图淡化机器的贡献。

如果我们把每篇论文都评为潜在的人工智能辅助，那么我们必须坚持其作者解释数学为何有趣、引发了哪些问题，以及它如何与更广泛的主题相关联。

我们难道不希望人们在做这些吗？

招聘：

除非我们改变招聘层面的评估方式，否则很难让人们改变。过去一些懒惰的委员会有时会引用JAMS论文、年鉴论文或其他出版物合集来证明候选人的令人印象深刻。

我希望看到一个关于你希望数学发展方向的叙述，具备解释这可能实现的技术能力，能够就数学的多个领域进行交流，以及过去有充分实践的记录。

这绝不是一个激进的新想法。招聘过程必须更多地依赖个人互动，而非纸质文件。

面试不仅应成为终身教职职位的标准做法，也应面试博士后和研究生职位。我相信我们都有过这样的经历：录取了研究生，他们“研究高阶同伦理论”，直到被录取后才发现自己无法计算圆的同调。

同时，我面试过一些终身教职候选人，起初我态度犹豫，但在办公室30分钟的对话后，我完全相信这位不仅对数学有深刻视野的人，还能将这一点传达给同事。

一旦采取这种方法，我们就有责任培训自己的研究生更好地表达数学，这对我们应当更加重视。注意，深度了解数学和流利解释数学之间也有区别;它们相关但技能不同。

理想情况下我两者都想要，但前者是我最终更看重的。

期刊：

在人工智能出现之前，期刊系统就急需改革。我们目前的动力已经是不断产出增量数学，这只是在系统中充斥。所需的彻底改革不会通过与编辑委员会达成共识协议实现。

（你知道让学者们对任何事情达成共识有多难吗？）被期刊接受早已不再是正确性的保证（如果曾经是的话），而只是质量的标志。我之前解释过我认为我们未来应该如何评价稿件的哲学。

基于此，我认为大量发表在arXiv上的论文不应被发表。如果期刊在写作、思想和阐述方面对论文有更高的要求，我认为这将让所有人的生活更好——编辑、审稿人，甚至作者。

如果编辑委员会无法做出调整，那么一个更为激进的设想是（至少暂时）彻底放弃期刊。（我仍然认为那些强调卓越实用性和清晰度的期刊仍有其价值，比如《基础数论》。）我并非主张人们停止撰写论文，但去除期刊发表这一遮羞布，将迫使论文仅凭自身价值立论。这篇论文是否讲述了一个引人入胜的故事？它是否经过Lean验证？我们应该产出更少（但更好）的论文，而不是更多。由AI自主生成、并有望经Lean检验的证明也有其用武之地，应作为我们集体知识体系的一部分加以记录。（参见hexagonmath。）

研究生、一年级课程与研讨会。

我们面临的最棘手问题之一是如何培养研究生。传统的学位论文往往是在现有研究的边缘布置一个问题，通过完成这一练习，学生能够掌握解决某一旧问题变体的技术技能，并期望随着研究的深入，他们能将所学方法推广到新的情形，进而有望拓展至更广泛的课题。但在如今只需按一下按钮就能产出此类论文的时代，我们必须重新审视：我们希望优秀的学生在未来从事怎样的工作？即便借助AI资源，如果连“紧致算术双曲三维流形”和“科利瓦金系统”这些术语都不理解，也无人能够探究它们之间的联系。（而且即便勉强能做到，他们又为何会对此感兴趣呢？）因此，让学生对数学这门学科有更宽广的整体视野变得尤为重要。我希望研究生在博士阶段结束时，能够拥有超越本专业的数学视野，同时在至少某一类问题上具备扎实的技术能力。许多学生毕业时虽掌握了某个子领域的技术，但他们对该领域其他方面乃至整个数学的了解，往往仅限于早已遗忘的专业训练，缺乏真正的全局观。我在前文已提出，我们需要以仿佛AI参与其中的方式来评价研究成果。但这并不意味着我们可以不再教授学生如何在没有AI的情况下进行深度数学研究——正如计算机的存在并不意味着我们应当停止教儿童算术一样。

这对我们教授的内容以及学生学习如何表达这些内容的方式都产生了影响。一门研究生课程应当使学生对所学主题在数学其他领域中的可能性有所理解。即使某些技术细节已经遗忘，我们也应期待他们仍能把握相关问题与联系的总体脉络。

如果我们要更多地通过面对面交流来评估一个人的理解力，那么显然必须更加重视培养学生向他人讲解数学的能力，无论是在课堂上、研讨会上，还是在同侪之间。我们需要为学生创造更多锻炼这项技能的机会。请记住，最成功的学生群体往往是那些共同学习、彼此讨论数学的人。

我们也不应忘记，并非所有获得数学博士学位的人都会进入学术界。我们还应当思考，博士培养的时长与结构是否适合那些将在校外谋求职业发展的学生。

研讨会：

传统上，研讨会上通常由某人详细报告其最新成果。由于数学本身十分艰深，这类报告几乎总是围绕对既有方法的某种细微调整展开，往往缺乏足以使其引人入胜的宏观背景。相反，研讨会不应完全聚焦于新工作。它们应当以更广泛而有趣的问题为核心，阐明我们在哪些方向上受阻、哪些方向上取得进展、哪些方向上充满希望，最后才在必要时简要介绍一些新颖之处。我一直鼓励我的学生以这种方式做报告！作为资深教师，我们都应在研讨会上明确表达对报告者的要求，推动其提供更有深度的内容。

主体意识。

数学家这个职业应当更加主动地承担起对这些成果的责任。从机器中诞生的一切，都是建立在人类数千年来数学探索的智力基础之上的。一旦你开始代表全人类而非仅仅归功于硅谷巨头或某个数学界的网络段子手，你会立刻感到心情舒畅许多。

全世界都在关注我们。

我的院长最近赴纽约拜访芝加哥大学的捐赠者及其他友人，她接触到的每个人，无论是否主修数学，都希望与她谈论数学。全世界都在关注我们。有许多许多人关心数学，尽管未必具备深厚的专业背景（例如3Blue1Brown已有超过六百万订阅者）。我所有的文科朋友都坚信，在社会中，数学家既是人类最古老智力活动的守护者，也是知识前沿的开拓者，这一点至关重要。我理解，我们所珍视的文化传统中有一部分将会消逝，作为人类，对此产生情感反应是很自然的。但此时正是向所有人说明，存在着诸多绝佳的新机遇、新可能，以及值得乐观的理由。我们正站在数学新时代的门槛上，我期待着见证接下来的发展。

注释：

关于杜米尼尔-科潘言论的更多背景，参见另见这个数字迷视频.他的完整引言还写道：“我们是一个有韧性的社区，我毫不怀疑我们会适应。”

这里提到的许多主题在其他帖子中也曾提及。举三个例子：

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