如果数学不只是证明，我们需要更认真地表彰其余部分

[这是一篇客座文章格兰特·桑德森.这篇博客文章最初是用不同的文件格式写成，并用AI进行转换。—— T.]

目前数学界普遍流传着一种观点，认为解决问题和生成证明一直都是数学家真正目标的代理，那就是促进人类理解。当证明可以在没有这种理解的情况下生成时，就会削弱它们作为代理的价值。

这立刻引出了一个问题：我们还应该使用哪些其他代理？

我想提出，我们应该更明确地定义“动机解释”的概念，并给予新颖且有说服力的动机解释学术认可，类似于历史上产生未解决问题新证明所获得的认可。

此外，我认为这是帮助数学圈外人士更好地理解数学家贡献的重要一步。如果外部人士认为证明机器使数学家变得过时，而内部人士则认为这是对研究者贡献的误解，那么这个社区有责任通过其所奖励的工作更好地展现其真实价值。

如果最受赞誉的工作偏向于产生证明，而澄清和阐述被视为二等，外部人士对这种误解是可以理解的。

我应该先承认我有明显的个人偏见。我从事非传统的数学职业，专注于制作相关主题的视频。这与“促进人类理解”的目标相同，但我关注的是能引起公众共鸣的解释和直觉，而非解决悬而未决的问题。

愤世嫉俗者很容易将这一提议解读为无耻的自我提升。

但实际上，我个人的职业和资金都不属于学术界，我对这个社区赋予的认可没有任何利益。此外，我提议提升有动力解释的地位，并不是指普及化。

我指的是任何主要旨在回答“你会如何思考这一点？”这一问题的工作，即使该主题需要深度专业知识才能欣赏。

我下面举的例子表明这并不新鲜。实践中的数学家已经投入了大量心力投入这类工作。这里的提议主要是1）更清晰地定义这项工作，2）提升其地位。

什么定义了有动机的解释？

虽然“动机解释”这个词的含义可能很明显，但值得简要对比一下“证据”。

在证明中，定义置于开头。通常且预期从新构造开始，并分析其性质。

在有动机的解释中，定义处于中间位置。只有当新建构词的问题已经明确确立后，才被允许进入词汇表。

在证明中，所有命题都必须正确，每个命题都作为前述的必然蕴涵。

在有动力的解释中，从一个不完全正确且需要纠正但起源易于理解的想法开始是可以接受且常常理想的。

我喜欢的一种动机解释体裁是“发现小说”，这是迈克尔·尼尔森创造的术语。你用一个叙事来发展一个想法，故事从一个简单但错误的问题解决方案开始，看看它在哪里出错，修正它，发现新的问题，依此类推。

证明的范围是解释为什么某个特定定理为真。

有动机解释的范围不仅在于澄清为什么某个定理为真，还在于为什么该定理首先是正确的表述，以及它在周围语境中的使用方式。

有动力解释的一个明显缺陷是，它的有效性不像证明那样二元。这也是证明如此有用的进步衡量方式的重要原因：你现在可以明确界定哪些有证据，哪些没有。

有动力解释永远不会有“精益”。

如果我们认真对待推动人类理解的目标，就无法回避这个目标本质上比寻找证明更模糊，因为定义人类理解本身更复杂。回避更具主观性的指标，就是回避领域中更具人性化的方面。

我之所以倾向于用“有动机”这个词，而不是像“清晰”或“去神秘化”这样其他可能的词，是因为这是一个更易验证的属性。它不像证明那样严格可验证;几乎没有什么是。

但这足以作为一种实用的衡量标准。在我自己的作品中，我经常重复这句话：“我希望这感觉像是你自己发现的”。我这么说不仅是为了安抚观众，更因为这是我评估解释是否完整时的可行指导。

对于每一个新想法，你可以问是否清楚这个想法的来源。答案不是非黑即白，但对实际来说足够接近。

动机解释的范例

我能想到的最好的有激励解释的资料库之一是《普林斯顿数学指南》第四部分。它涵盖了二十多个活跃的研究领域，每个领域都由一位擅长清晰表达的专家介绍。

无论是Andrew Granville讲解解析数论，还是David Ben-Zvi介绍模空间，这些文章都提供了一种更常见于黑板前一对一交流时能感受到的直觉和动力。

本书的背景对于本次讨论尤为重要。该书由蒂莫西·高尔斯编辑，他在他在Numberphile播客上的采访与布雷迪·哈兰合作。当被问及菲尔兹奖对他生活产生了什么影响时，他这样回答：

获得菲尔兹奖的人会更自由地做些稍微不同的事情......比如我接手编辑了一本叫《普林斯顿数学指南》的书，这是一项极其庞大的任务。我估计大约花了我五年左右的工作时间的一半......这是我相信的一个项目，如果不是菲尔兹奖得主，我可能根本不会得到这个机会。

他相信这一点是正确的;这项工作为数学领域增添了巨大价值，但我觉得很遗憾，必须获得菲尔兹奖才能觉得有理由花时间研究。

另一个极具证明才能、但贡献远超证明的例子是比尔·瑟斯顿。他那篇理所当然的著名文章论数学的证明与进展尽管写于LLMs出现前三十年，开篇就提出“数学家能完成什么？”这个问题的正确表述是“数学家如何促进人类对数学的理解？”

这里有一个段落与今天有着奇妙的共鸣：

计算机的快速发展进一步凸显了这一点，因为计算机和人类非常不同。例如，当Appel和Haken用大规模自动计算完成四色映射定理的证明时，引发了大量争议。我认为这场争议与人们对定理真实性或证明正确性的怀疑无关。相反，这反映了人们对证明理解的持续渴望，同时也希望知道该定理是真实的。

在更日常的层面上，人们最初接触计算机时，往往会对自己在小规模上手工完成的事情进行大规模计算。他们可能会打印出前1万个质数的表格，结果发现打印出来的其实并不是他们真正想要的东西。通过这种体验，他们发现自己真正想要的通常不是某个“答案”的集合——他们想要的是理解。

这篇文章很好地阐述了数学实践不仅仅是产生证明。我想提醒你注意他最后写的内容。

我投入了很多精力在非计分活动上，这些活动我很看重，就像我重视证明定理一样：数学政治、将笔记修改成高水平的书、探索数学计算、数学教育、通过几何中心开发新的数学交流形式（比如我们的第一个实验“Not Knot”视频）、指导MSRI等等。

同样，为什么这些“非学分生成活动”应该跟随菲尔兹奖章，而非对其贡献？

就我个人而言，他提到的几何中心的一个产品对我影响尤为深远。那是一部名为《内外或许是最早的关于实质数学的病毒视频，直观地展示了瑟斯顿自己构建球面翻转的关键思想。

一个原始证明证明必然存在反转，比如斯梅尔的，推动了人类从0到1的理解。像这样的视频让数百万人参与底层思想，推动从1到N的理解。

我很感激瑟斯顿花了这么多时间在这项“非学分生成”活动上。

另一篇相关论文是周廷莫西的强迫初学者指南.这篇论文不仅提供了动机解释的典范，其引言还提供了有用的词汇。

所有数学家都熟悉开放式研究问题的概念。我提出一个较少人熟悉的概念——开放式阐述题。解决开放式阐述题意味着以一种让数学主题完全清晰明了的方式解释它。每一步都应充满动力和清晰;理想情况下，学生们应该觉得自己完全可以得出结果。

如果这些开放式说明题被与开放研究题类似对待，会是什么样子？极端情况下，我们可以想象如果有类似千禧年奖题的开放式说明题会是什么样子。

一个机构或研究团队会正式定义他们认为重要的数学结果，这些结果虽然技术上已有证明，但尚未被充分理解。目前，每个AI生成的证明本身就是未解的说明题。

因此，未来几年很可能会涌现大量说明题，领导者明确哪些值得关注将非常有价值。

必须就一个标准来确定什么构成对重要未解说明问题的解决方案。这本质上比验证证明更具主观性，但任何认真探讨数学中更人性化的部分，必然会涉及这种主观性。

我再次强调，检查关键观点是否有动机，就像检查证明步骤是否合乎逻辑一样。

如果数学之外的世界都认为其领军人物对待开放式阐述问题像对待开放研究问题一样认真对待，这将极大地纠正人们对数学家角色的误解。

我最后要举的例子，可能更能预示接下来的情节。

今年四月，利亚姆·普赖斯提交了埃尔德什问题1196的解决方案，该问题有时被称为渐近原始集猜想。该解决方案来自普赖斯与GPT-5.4 Pro的互动。

与许多早期通过人工智能帮助解决的埃尔德什问题不同，这个问题既重要又难以捉摸。此类故事如今越来越常见，但尽管技术上已有证据，人类理解尚未取得太大进展。

证据传到了Nat Sothanaphan和Jared Lichtman手中，他们能够解读AI的方法，并将证明整理成人类可读的形式。五月，鲍里斯·阿列克谢夫、凯文·巴雷托、李彦阳、贾里德·杜克·利希特曼、利亚姆·普赖斯、吉布兰·伊克巴尔·沙阿、唐全宇和陶仁一篇论文该理论扩展了证明背后的关键思想。

作者解释了这一关键思想不仅澄清了原始问题，还解决了许多相关问题，例如提供了更清晰的埃尔德什原始集合猜想的证明。

这里的价值不在于又一个Erdős问题被划算为已解决。价值在于我们对原始集的理解比2026年初时更加清晰和令人满意。最初的问题解决方案在其中起到了一定作用，但可以说，值得更多赞扬的是这篇论文对其核心思想的扩展、澄清和置于背景中。

实际行动号召

从务实角度看，提升一个有动机解释的地位会是什么样子？这里有几点建议。

• 博士导师仍然可以布置一个自己领域的小问题，让新生练习，但交付物不会是写出解决方案;而是以演讲的形式向同学和教师展示解决方案。这可能是已经解决但缺乏清晰度的问题，或者是一个缺乏解决方案的问题，学生利用人工智能来寻找答案。无论哪种情况，学生都知道在某个日期他们必须足够理解并解释，而期望的结果是让其他人也能理解。简而言之，即使是小问题也可以被视为小型博士答辩。
• 一位领军人物（咳，特里，咳）可以列举希尔伯特问题的现代类比，专注于未解的阐述问题。哪些领域既重要又缺乏，难以实现我们期望的更深入理解？
• 书面标准可以明确什么是有动力的解释，旨在使其几乎和证明一样可验证，从而使未解决的阐述问题的解决能够像未解问题的证明一样被认可和庆祝。
• 可以建立更明确的期刊，专注于让数学界更广泛地理解结果。数学话语在这方面提供了一个有趣的新例子。
• 招聘和终身教职决策可能会更重视写作优秀教材及类似作品。可以把AMS斯蒂尔博览奖想象成更细致的规模，重点关注早期职业贡献。

可见文化变迁的价值

我想以更广泛的观点结束，数学中可见的文化转变带来了内在的益处现在关于数学作为职业的外部形象。

许多对该领域充满热情的年轻学生，现在因对证明机器时代的未来充满不确定性而害怕追求它。然而，如果正确表态，这是进入该领域最激动人心的时刻之一，因为没有什么比进入一个可塑性强、你有机会积极塑造未来形态的领域更令人兴奋的了。

即使我们完全放弃人工智能带来的任何潜在益处来帮助理解，年轻的准数学家也应感到振奋，因为他们正处于历史上一个独特的时刻，可能在决定整个领域面貌中发挥真正作用。

然而，这样的变革只有在感觉是有意为之时才令人兴奋，而如果它似乎被你无法控制的力量驱动，则令人恐惧。因此，领域领导者现在采取切实行动，帮助定义和澄清该领域，将让年轻新秀安心，知道谁才是主导者，并且职业地位不取决于出示证明的实体。

同样，我也认为现在是资助数学的最佳时机之一。如果数学的下一章由两个词“人类理解”的鼓点开启，那么即将发生的变化似乎会放大数学作为公共产品的价值。