快数学与慢数学：陶哲轩谈 LLM 时代数学研究的矛盾与出路

[这是一篇客座文章本·安蒂奥， 交叉发布摘自他的博客.这篇博客文章最初是用不同的文件格式写成，并用AI进行转换。—— T.]

为了解决学者们在数学实践中的核心矛盾，我建议将快餐及其随之而来的慢食运动进行类比。

三颗心

数学工作包含许多活动和体验。我最喜欢的有：

1. 几个月来读一篇论文。
2. 当空气中弥漫着定理、发现或正确定义的气息时，追逐的刺激感。
3. 博士生第一次给我看他们的定理或论文的那一刻。

第一和第二是获取和创造知识。第三是关于传递元知识：执行第一和第二的能力。

对我来说，数学一直关乎个人理解的喜悦，以及引导他人接受这种理解的过程，通常是在数月甚至数年内慢慢完成的。

近几个月来，数学界对语言模型在我们研究中的作用产生了深刻的不安。这种恐惧根本上是经济层面的。大型语言模型可以提出数学陈述和证明，其中一些确实很有趣。

我们自己，数学家，是否已经过时？我们的学生会找不到工作吗？我们的资助机构，甚至我们的大学，会抛弃我们吗？数学真的被解决了吗？

不。数学不是真命题的集合，而真命题的补集也不是假命题的集合。它无法被解决，就像人类经验无法解决一样。

数学与社会

大多数学术数学家本质上是慢速数学从业者，尽管写论文、申请资助、教学和管理的压力似乎与我们理想化的沉思生活相去甚远。

然而，数学同样构成了科学和工程的基石，因此是人类社会解决技术问题的核心。如果我们不利用一切可能的工具帮助数学应对重大挑战，数学家不能指望我们在文化中的尊贵地位能够保持不变。

亚历山大·纳扎良于2025年6月19日在《纽约时报》写道：

“数学问题有时需要几十年甚至几个世纪才能解决，”[帕特里克·沙夫托]在DARPA总部最近关于指数数学项目的报告中说，该项目目前接受申请至七月中旬。随后他分享了一张幻灯片，显示在过去一个世纪论文发表数量上停滞不前，而生命科学和技术科学却爆发式增长。如果观点还不够明显，幻灯片的标题也明确了这一点：“数学真是慢极了。…”

我们专业存在的部分目的是教育工程师和科学家，为国家实验室提供研究人员，并为企业提供高素质人才。偶尔，理论结果会开辟新的具体应用领域，例如在后量子密码标准中使用基于格点的方法。

如果我们放弃这部分职责，我们当然可以告别资助和教学削减。我们可以走上——系的道路，因怀旧而被允许存在，但相关性逐渐减弱。

为了解决我们个人实践与外在目标之间的核心矛盾，我提出快速数学和慢数学作为思考不同类型数学的方式。正如我们都喜欢慢食，有时快餐正是我们需要或渴望的。

这些不同的方式并不是用来把人类数学家分成“慢数学”和“快数学”两派。事实上，我强烈反对分裂为我们和他们之间的诱惑。我不想坐在因人工智能使用或美德测试而分裂的招聘委员会，而非对候选人的诚实评估。

慢数学和快数学的目标是一样的：增进人类对我们感兴趣的“命题空间”区域中真假的理解。这些领域取代了它们作为数学研究的不同方式，与计算机代数、说明、可视化制作、编辑工作等并行。

并非每个数学家都做，也应该做所有这些。

梦想更大

部分得益于技术进步，但更多是出于对知识的无尽渴望，物理学家们在几个世纪内从桌面实验发展到运营人类一些最大的集体事业。

大型语言模型代表了巨大的技术进步，有些人可能会选择梦想更大的梦想。我们应有意识且深思熟虑地使用这些模型和其他人工智能工具来实现这些梦想。

其中一些可能是为了回答工具本身带来的新紧迫问题，比如大型语言模型系统中可解释性的问题。这些工具基于数学构建，我们的学科提供了理解它们和安全使用它们的主要途径之一。

其他梦想应是开展大胆的项目，这在过去是不切实际的。我心中设想的是像兰兰兹计划那样规模的研究方向，或格罗滕迪克关于动机的梦想。

一个例子可以是更高维的代数几何。许多在LLM辅助下建立的反例，都与我们对高维代数簇的了解不像对曲线和曲面那样熟悉的事实有关。

（当然，也有很多令人惊叹的结果，比如Beauville–Bogomolov。）

这些项目应当严格进行，并进行人类与大型语言模型之间的来回交流。这些项目应有主任、博士后、学生和标准。目标是利用大型语言模型来理解高维现象——让人类能够理解。

它不是为了产生一堆人类未曾阅读或理解的结果。

这些项目是快速的数学：深远、雄心勃勃，几乎鲁莽。它们旨在实现变革性的数学知识发现和组织，尤其受到数学与应用数学边界上的重大挑战的激励。

但它们不会以某个发现结束。它们还将负责制作讲义笔记、教材、数据库及其他工具，帮助人类理解他们的发现。它们的存在是为了真正利用人工智能能力，并为人类理解准备输出。

集体标准

我建议数学界制定以下标准。请将这些作为初步提案，并欢迎随时向我反馈。总体目标是我们应利用大型语言模型帮助人类数学家理解，而不仅仅是提高产出。

1. 披露所有合作，包括与大型语言模型的合作。我希望最终我们能用开源模型来完成人们现在可能转向LLM的日常工作。只要计算机代数系统的工作超出常规，我们就会引用。我们应该在这里这样做。
2. 不要因为数学家的LLM使用而评判他们。我们社区的标准仍在不断变化中。我们可以争论这些标准应当是什么，但个人必须在此期间采取行动，我们不应对他们的行为进行诉讼。
3. 将论文发布到arXiv或发表意味着作者已满足三个标准：
   • 如果在荒岛上（大型计算机计算除外），你可以重现主要思想;
   • 你尽力为人类理解而写;
   • 你承担智力和声誉责任，并为结果作功。
   第二点，使用LLM进行润色、拼写检查、发现错误或绘制图表完全没问题。用LLM生成论文初稿则不可接受。
4. LLM不应被用来与其他数学家竞争、抢先或让他们尴尬。不用说，我们有一定的竞争力，但这种行为没有任何收获，反而在同事关系上会失去很多。我们非常幸运，能在会议上公开谈论我们所做的事情，甚至在研究成果之前几年就开始讨论我们的工作。
5. 避免随便问LLM问题，或者至少不要公开答案。简单的结果对培训学生非常重要。许多人都兴奋地提出在研究项目中长期搁置的问题，包括我自己。当然，我们不能说任何问题都是禁区。但我预计这种热情将在未来几周或几个月内减弱。我们也不需要每次大型实验室发布新“发布”时都重复这种热情。
6. 如果你选择使用LLM，重点是发展你自己的研究、直觉和成果。没有人拥有某个数学领域或某个问题。但对我来说，某天醒来说，你知道，我认识一个著名数学家——正在研究一个问题——我就要解决它，这是不可接受的。他们会对我印象深刻，或者我会得到我需要的下一份工作。从长远来看，防止这种行为最简单的方法就是不奖励它。
7. 不要以超出你理解或有效沟通的速度工作。这条黄金法则适用于所有其他领域。
8. 不要根据论文数量来招聘、招聘、晋升或表扬。过去，高质量论文的产出曾是评估理解力和卓越性的参考。当然，你希望聘请撰写这些论文的人，以便他们为你的研究或系里的学生提供见解。每个系都必须找到新的评判方式。
9. 不要把之前的任务完全交给LLM。

在LLM之前，我通常同时在炉子上或冰箱里有5到10个项目，可能同时活跃于2到3个。这反映了我的兴趣和个人对它们的关注能力。我使用过语言模型，特别是代理编码系统（基本上连续7个月不停地写代码），我可以证明人们倾向于做越来越多的事，但这样做的乐趣会减退，质量难以验证，我对成果的理解也会下降。

因此，我强烈不同意Shafto幻灯片中关于数学停滞可以通过发表率增长速度低于其他科学来衡量的前提。论文只是理解的代理。

我认为也有一些领域明确允许使用大型语言模型。他们可以提供翻译服务，无论是提升非母语写作水平，还是翻译成自己的语言。他们可以校对。

说实话，现在大多数期刊已经没有人帮我们做这件事了。他们可以充当导师。

实验不可避免地会产生主要由大型语言模型生成的文字，可能没有人类能理解。这些文本也值得有一个家，因为它们以后可能对人类工作有用，但那个家不是arXiv。

帕斯卡尔

自20世纪30至40年代冯·诺依曼、图灵和哥德尔以来，我们就知道数学定理不过是形式语言中可证的命题。这些命题可以被任何计算机自动生成。

人类关心的是个别陈述和定理。也许部分因为我们从自然界获得的直觉，这些命题是不是在我们眼中是平等的。数学是人类数学家所理解的。

更远处是黑暗：真正的缺席，或是外星智慧的难以捉摸的战利品。

在帕斯卡球面博尔赫斯引用了布莱兹·帕斯卡的话：“自然是一个可怕的球体，其中心无处不在，周长无处不在”，以提出“普遍历史是不同语调的历史，只有少数几个隐喻。”事实上，数学是一个无限的球体，其中心无处不在，周长无处不在。

就像帕斯卡尔一样，被人类同时的渺小所压倒以及理解我们的渺小能力，数学家在一个适居区工作，在那里定理、问题和猜想被配置为某种结构是可见。

LLM似乎可以组织成自己的社会，这一点很有趣。他们在那里产生的数学对我来说并不有趣。语言模型并没有为人类解决数学问题。它们只是为一个新兴文明练习数学。

关闭

我相信超越我们文明的存在、曾经存在，未来也会存在。我们的定理已经被证明。它们将被遗忘，反复被证明，直到最后一丝余烬熄灭。

数学的实践是文明的工作，我们将继续。