有幸洞悉事物成因之人，当为之喜悦

[这是一篇客座文章内斯特·吉伦，转载自他的博客.这篇博客文章最初是用不同的文件格式写成，并用AI进行转换。—— T.]

关键词：大型语言模型、文化技术、滑板、创意社区、人工智能产业。

关于这篇文章的时机。我是在ICM中期开始写这篇文章的，花了这么长时间才完成，另见我较短的文章后八月开始。无论如何，大部分文章是在八月完成的，并与几位亲密朋友分享以求反馈。

本周早些时候，特里斯坦·巴克马斯特已宣布一项与Levent Alpöge合作的突破性发现，发现了带强制的3D不可压缩欧拉有限时间爆破。他还严重指控OpenAI存在不当行为（见公告）。

次日，OpenAI宣布了基于其内部LLM的3D Navier-Stokes强制推翻有限时间爆破结果。媒体报道频繁，我推荐Kenneth Chang的资料报道.我决定不更改文章开头，而是在这里记录新闻。

特里斯坦在放大构建中相当肯定了科尔多瓦和马丁内斯-索罗亚的观点;我发现这一重要细节非常支持我在文章中主张的大型语言模型观点，也进一步说明了本文内容保持基本不变。

如果有一天我们醒来得知大语言模型的输出包含了不可压缩纳维-斯托克斯方程爆破问题的最终答案，以及黎曼ζ函数零点所在问题的答案，那会有什么意义？

（或者，提到我心中最关心的问题：ABP最大值原理的非局部版本的证明，或马勒猜想或科姆洛斯猜想的解决？）

许多数学同行认为这是一种噩梦般的局面，我认为这是一个非常合理的观点。不过，在这里我想提出不同的观点。就我个人而言，我开始相信，包含一个有趣、富有洞见、新颖数学思想的大型模型输出的消息，可以且应该被视为数学和数学家共同自豪的源泉。

我也相信，可以有一个世界，大型语言模型不会有害，反而是支持数学家，因为我们遵循我们的首要指令：理解事物。

我在这篇文章中旨在详细阐述我的含义。我相信这种观点可以缓解我们许多人在围绕人工智能和数学家即将被淘汰的日常炒作和末日叙事中所感受到的恐惧。

我不会在这里讨论那些较少存在主义/哲学性的、更实际/物质的关切，比如数学职业资金的挑战、期刊的运作方式、数学家培训的变化等。

这些问题也很重要，但我认为澄清我在这里提出的观点会让讨论更实际的问题更容易。

比尔·瑟斯顿在他著名的1994年文章中也谈到了同样的观点，《论数学的证明与进展》这比以往任何时候都更为重要。瑟斯顿观察到，数学家（作为一个群体）证明定理并解决问题，但这并不是他们全部的工作：他们还吸收这些解，并在这些解被证明后寻找新的用途。

这种“消化”[1]反过来又促成了下一波突破的出现，从而推动了我们对数学的理解。

这不仅是数学家工作的次要，而是我们的使命本身。数学对人类的价值不在于判断某个陈述或猜想是真是假，而在于我们在做出这些判断时所获得的理解（即使事实本身也极具价值）。

简而言之，数学家是试图理解事物原因的人。

费利克斯，你是因为我知道的

在数学界广泛讨论大型语言模型（LLM）和生成式人工智能（Genative AI）时，必须先解决一个障碍，才能深入探讨问题的实质内容。这个障碍是当前且遗憾地将生成式人工智能（Genative AI）与生成式人工智能（Genative AI）与大型人工智能公司（Genative AI）的具体产品和愿景联系起来。

我们必须做出这种区分，并区分两者。大多数人在讨论人工智能时，脑海中浮现的就是私人人工智能实验室的愿景，这绝非偶然，因为这一愿景已被强力推入我们日常生活的方方面面。

这在目前看似不可能，但我们可以想象一个由基层开发出多种平行LLM使用方法的另类世界，反映了不同社区、行业和机构的多样环境。这一世界的种子是开放权重模型的出现。

这是另一篇文章的话题。

所以在接下来的一切中，我将关键地依赖上述区分，因此当我说大语言模型或“大型模型”时，我指的是技术本身，而非任何主要的人工智能公司或其产品。

在大家清了清嗓子之后，让我进入正题。为什么包含新颖且激动人心的数学思想的大型语言模型的产出会成为数学家的骄傲，而不是焦虑的来源？

我的回答很大程度上源于这个非常有趣的观点文章作者：亨利·法雷尔、艾莉森·戈普尼克、科斯玛·沙利齐和詹姆斯·埃文斯。我引用他们其中一个核心论点：

…大型模型不应主要被视为智能代理，而是一种新型的文化和社会技术，使人类能够利用他人积累的信息。

我会尽力将他们文章中的思想应用于数学和数学家的工作。如果你不继续阅读，而是停下来去读他们的文章和瑟斯顿的文章，我会认为这篇文章是成功的。

文化与社会技术

人类一直生活在一个复杂的世界中，他们的生存依赖于处理超出任何个体能力范围的信息量——而且很可能这种时间几乎与人类存在的时间相当。

赫伯特·西蒙的“有限理性”概念很好地体现了这一点：在现实生活中，与最简单的控制理论模型不同，我们在决策时间和信息准确性上都有限制。

这意味着做决策的主体必须放弃最优性，满足于“足够好”。

西蒙看到有限理性的一个含义是，人类必须（并且确实）发展出作为一个群体处理信息的系统。我们看到人类建立了国家、故事、官僚机构、市场、图书馆等。

这些是文化和社会技术。它们是人类（不是个人，而是作为一个群体）能够处理庞大信息量的手段，这些信息无法被任何个体单独处理。

这些技术的一个重要特点是它们在某种程度上会遗忘：你会忽略或淡化细节，以便让整体画面更容易理解。

市场、政府和官僚机构意味着每个人都可以专注于几件事，同时仍能获得整体收益。多亏了市场、政府和官僚机构，我可以依靠在曼哈顿公寓附近街区买到新鲜水果和蔬菜。

多亏了市场、政府和现代医学领域，我们现在对新生儿能活到成年充满高度信心——这与人类历史上大多数时期的常态形成鲜明对比。文化技术是强大且令人敬畏的东西。

我们常常将它们拟人化是可以理解的。

本周我开始教授研究生水平的最优输运课程。我以展示最优输运的一个巧妙应用结束了第一节课：关于等周不等式的“一页证明”。当然，证明是否仅一页取决于我们假设的具体情况。

这不仅在高级课程教学中常见，在日常研究中也很常见，这得益于文化技术的力量。在证明中，我不必从零解释勒贝格测度或有限周长集合的概念。

在证明过程中，我会说“只有在领域边界平滑时才做细节，并且假设勒贝格测度由于缩放不会失去一般性”，我依赖一个我可以信任的博士一年级学生熟悉的通用技巧。

所有这些都对我和学生都有利。我们可以专注于“一页”证明，并提出一个有趣的新观点：布雷尼尔定理提供了一张映射，通过该映射，等周不等式本质上被简化为算术几何平均不等式。

所以，基本上这是我在黑板上展示的内容：假设有勒贝格测度，我们要证明

其中是与 相同的体积的 -维欧几里得球，因此 。然后，我告诉我的班级，布雷尼尔定理说从到，总有一个映射，这个映射保持体积，并且对于某个凸函数 。

那么，由于 和 的所有特征值都是非负的，算术几何平均不等式说明 在 中处处都是，因此

那么，散度定理和（其中 = 单位球体积）保证了

对于体积为 的球，缩放显示 ，因此我们得出 ，如我们所愿。

在与这一证明互动时，我们与许多数学家进行了跨越时空的对话，尤其是与Knothe（1957年）和Gromov（1986年），随后又与Brenier、McCann和Trudinger的独立作品交谈——甚至还有我年轻时的自己在一组讲义与McCann一起，我们详细讲解了上述证明（具体见第1.6节）。

这场对话由一种共同的数学文化所调节，这种文化包含了我可以信赖的研究生们熟悉的共同定义和方法。我不需要证明散度定理或变量变换公式来证明这些计算的合理性，也不必担心 的光滑度，因为我可以通过近似来工作。

不多说细节，我在一块黑板上演示了这样一个想法：布雷尼尔映射将你从算术几何平均不等式带到等周不等式，我在课程最后15分钟做了这个。

这些是文化技术的实际应用！具体是哪种文化技术？这里指的是科学社区的技术，这些技术在教学内容、数学文献等方面有标准。

大型语言模型作为文化技术

Farrell等人的主要观点是，LLMs是文化技术，就像市场、官僚机构和科学学科一样。因此，文化技术的框架对于我们理解和应对大型模型对学科影响非常有用。

LLM确实很像我课堂上的例子，在某种程度上它们是对较早文化技术的“包裹”：科学文献。当你向LLM提问关于等周不等式、ABP最大值原理或偏微分方程的问题时，你实际上是在与所有思考并研究过这些问题的人互动——前提是LLM训练的数据以某种方式包含这些贡献。

我上面提到的讲义肯定包含在当今大多数大型语言模型的训练数据中，就像大量数字化数学文献（跨学科）都是训练数据的一部分一样。

LLM是有损的，所以虽然模型无法完全复制训练数据中的论文，但它可以重现大量内容。

LLM与旧有的文化和社会技术区别在于，我们已经将所有这些数据数字化，现在可以通过计算机终端甚至手机发送文本命令（提示）轻松地探索、复制和重新组合。

本质上，LLM是顶级的信息处理工具。它们也是生成对话级文本的极佳工具，能够连贯地组合来自截然不同的信息模式。

通过少数私人实验室的产品设计选择，大多数大型语言模型的输出带有对话式语气，且易于拟人化。这些特性放大了类似ELIZA的效果，甚至能触及拥有数学和计算机科学高级培训的人。

从某种意义上说，拟人化这项技术——正如一些人所说，并非非得如此——对所有人都是不公平的：LLM的对话式结构给人一种单一“思考”实体的外观，掩盖了大量人群的工作，这些人正在被重新组合。

这种外观并非LLM的特征，而是AI公司想要的LLMs的特点。我们面对的并不是非常聪明、天才级别的智能;我们正在与更伟大（但又更具人性化）的东西互动：这是数千年人类智慧和创造力的总量创造，数字化且高效压缩——所有这些都由最先进的统计和生成算法中介。

特别是，任何在大型语言模型（LLM）产出中的数学证明，都是数学家一生努力的集体成果。它必须被视为我们共同数学遗产的成果，属于全人类，这些遗产由不同时期使用非数学家身份的人们（自然哲学家、天文学家、几何学家）承载。

这对包含我们可能认为新颖证明或思想的大型语言模型产出非常适用，因为归根结底，这一切都是这庞大知识体系的产物。这里面有一个存在了数百年的尺度规律。

最近出现的软件不过是一种束缚或包裹。

现在，让我们重新考虑我开篇时提到的“噩梦情景”。有一天，我们醒来时得知大型模型的输出包含了黎曼假设的解决方案。我们现在掌握了Farrell等人的观点，尤其是文化技术的概念。

在这个框架下阅读新闻，我们学到了一个新的数学事实，但同时也明白到，这一事实是该领域研究者迄今集体努力的成果。这个问题被一两位（甚至许多）研究者的观点破解，最终通过抽样和重组大型语言模型擅长的观点来达成解决方案。

这就引出了一个微妙的问题：从数学文献中，在某一时刻，哪些思想是可以被引导出来的？我将借用几何学的概念，并宽松地用“凸组合”的比喻来讨论这个问题。

思想的凸包

一个包含另一个凸体的凸体，摘自希尔伯特和科恩-沃森的《几何与想象力》

LLM的能力在过去几年里有了相当大的进步，仅今年数学领域就有了显著进步。这种快速的进步让这个讨论变得困难。“LLM能做什么？”这个问题目前是一个相当动态的目标。

话虽如此，我们不妨考虑一个可能不太依赖LLM且可能有用但仍然模糊的问题。

思想有时非常明显是其他更根本思想的组合。有时一个新想法确实与之前的观点截然不同。在大型语言模型输出中发现黎曼猜想或三维纳维-斯托克斯光滑问题的解，会告诉我们什么？

一个玩具模型（可能不反映经验现实）是，结果可能属于现有文献中的某种“闭包”或“凸包”。更广泛地说，可以提出以下问题：给定一组思想，哪些观点可以说是完全超越它们，哪些更接近它们的“凸包”？

我不会给出更具体的定义，因为我无法做到。不过，我可以通过例子讨论这个定义应涵盖的内容。我也不会用“凸包”来表示该点是导数的，或者说在凸包内找到某物的点很容易——高维凸集是极其复杂的对象！

至少我们可以同意，素数无穷的证明显然不存在于欧拉和狄利克雷之前的数论“凸包”中：用无限级数量化“素数数量”正是在数论提出之前完全不属于的思想。

然而，形如素数的质数无限问题可以在欧拉之前的数论中提出。事实上，这在形如素数的特殊选择中早已已知，比如形如素数。同样，数域、理想及其唯一分解都是远超所有前身数论的思想。

然而，一旦我们把这些思想结合起来，就稍微减少了凸包之外（或者甚至在凸包内部）去证明每个理想类都包含无限多个素理想——这是欧拉和狄利克雷思想与高斯整数思想的结合。

据我目前所见，在我最接近的研究领域，没有任何大型语言模型能像欧拉引入的素数分析方法那样产生成果。一种可能是，到目前为止，LLM甚至还没有被用于这些领域。

事实上，可以这样说：欧拉不仅仅是回答一个众所周知的问题，而是说“这里其实有一个全新的问题，我们之前不知道可以提出，而且实际上是一个非常重要的问题，与更早的问题相关联！”将LLM作为文化技术的框架，在反映现有LLM的范围内，表明这种贡献是我们无法指望在它们输出中发现的。

根据Farrell等人的观点，文化和社会技术包括前述由个人能力组成，这些能力随后被技术聚合和传递。他们在文章中指出，“没有创新，模仿就毫无意义。”假设欧拉拥有一台训练有素、涵盖他开始涉猎数论之前所有数学的大型语言模型。

如果没有个人先引入素数的解析视角，我们假设的大型语言模型将很难创新解析数论的诞生，然后利用这一创新来解决关于任意互素质的质数无限大（模 ，对此）的“猜想”[2]。

尽管如此，该框架与一个令人愉快的可能性兼容：一个使用大型语言模型的人可能会有一个灵光一现的时刻，人物，达成这一创新。

这里还有一个略有不同的例子。偏微分方程中最重要的定理之一是关于非散度形式椭圆方程和抛物线方程的克里洛夫-萨福诺夫定理。对于不属于偏微分方程的人来说，这些是拉普拉斯方程和热方程的版本，只是偏导数前的“系数”不是常数，而是从一点变化到另一点。

这些线性和非线性方程出现在随机过程的研究以及最优控制和几何中。克里洛夫-萨福诺夫定理给出了一个仅依赖于均匀椭圆度的偏微分方程解的荷尔德正则性估计——值得注意的是，即使系数可能非常不连续，该估计仍然有效。

为具体考虑一个线性方程，如

当系数光滑时，该方程的解的正则性可以从拉普拉斯方程的理论中理解。从启发式角度看，系数光滑意味着当你放大到某个点附近时，系数越来越接近常数，这使你距离拉普拉斯方程仅有一个仿射变量变更。

因此，拉普拉斯方程的良好正则化性质可向上传递到更大尺度，从而证明是光滑的。然而，这一估计很大程度上依赖于函数的连续模量。

现在，我不能在这里详细说明，但获得不依赖于系数连续性的估计极为重要。事实上，这个问题的重要性不容忽视——这些估计在随机过程理论、几何分析和微分几何（比如与曲率相关的许多偏微分方程）、随机齐质化等领域都有深远影响。

因此，克里洛夫-萨福诺夫定理是我们拥有的最重要偏微分方程结果之一。

然而，克里洛夫-萨福诺夫定理依赖于一个来自完全不同领域的数学事实：凸分析。亚历山德罗夫有一个估计，如下：对于表示单位球，给定任意在 和 上凸的函数，我们有

其中表示凸函数的亚微分。该估计值适用于一般凸体，而不仅仅是 ，在这种一般性下，它等价于凸几何中的逆Blaschke-Santaló不等式。

该估计值是所谓的Aleksandrov-Bakelman-Pucci（ABP）估计的关键组成部分，而ABP又是Krylov-Safonov定理的关键。

简单来说：没有凸几何中的这一事实，克里洛夫-萨福诺夫定理无法被证明，至少我们今天所知的任何方式都无法实现。这是一个重要的陈述，因为许多分析中的重要定理存在多条独立的攻线，这些论文不一定使用相同的工具。

这就像在不了解庞加莱不等式的情况下，如何证明几何分析和概率的结果一样。如果没有几十年前凸几何的进展，完全非线性椭圆偏微分方程理论——乍看之下似乎与凸几何相去甚远——也不可能像克里洛夫和萨福诺夫那样发展得如此。

想象一个平行宇宙，我们进入大型语言模型技术时尚未了解克里洛夫-萨福诺夫定理，因此不依赖系数的非散度椭圆方程的正则性问题被视为一个重要的未解问题。

文化技术框架表明，在这个宇宙中，如果该平行宇宙的数学文献没有充分发展的凸几何/分析领域，LLM（至少在当前能力水平）无法解决这一未解问题。

同理，如果在这个平行宇宙中存在完善的凸几何文献，包括亚历山德罗夫估计，那么大型语言模型有可能桥接这两者，得出ABP估计和克里洛夫-萨福诺夫定理。

从“思想凸包”的角度思考，可以发现LLM能否解决某个数学问题，很大程度上取决于当时数学文献的地位，而不仅仅是LLM的规模。从这个角度看，LLM输出中包含难题解决方案的事件应被视为一件令人欣喜的事：LLM帮助我们挖掘出埋藏在数学遗产中的宝藏，或者说凸包中。

事实上，这种情况已经发生过：不到一年前，我们听说有“Erdős问题”被大型语言模型解决，结果发现这些问题其实是LLM在旧论文中（有些甚至被遗忘！）中找到了解决方案的实例。

当时，这一认识被视为LLM的失败。现在，这种情况正好说明了我在这里所倡导的观点，只是缩影。

动荡时期的创意社区

作为文化技术的LLM框架，以及它所启发的“凸包”理念，解决了我对LLMs的哲学关切。这强化了我对我所重视的数学能够长存的乐观态度。

然而，这并不改变数学界面临严峻且紧迫挑战的事实。AI公司对其愿景的激进且狭隘的推动正在伤害该领域，加剧我们行业的旧有裂痕和功能失调，并制造新的问题。

这并非创意社区首次经历动荡时期或由新技术或经济现实带来的重大变革。我们可以从过去的例子中汲取教训，无论是在数学还是其他学科中。

可以想象画家面对摄影的兴起，音乐家面对合成器的到来，或数学家本身——比如1990年代arXiv的诞生。无论看起来多么不同寻常，职业滑板历史中的章节与数学中的境遇有着惊人的相似之处，这段历史对数学家有许多教导和警示。

罗德尼·穆伦在一集中表演“不可能”魔术物理女孩（戴安娜·考恩）

到了1980年代，滑板已经存在了几十年。它有职业比赛、赞助协议和专业出版社。像数学一样，滑板拥有一个生态圈，允许练习者发展技艺并推动进步，甚至在过程中赚取一些收入。

滑板还设有子领域，如自由式、垂直滑和街头滑板。1984年，来自自由式子领域的凯文·哈里斯观察到，只有“六个月经验”的街头滑手收入已经超过了罗德尼·穆伦当时，他拥有数万小时的经验和几乎完美的职业比赛记录。

哈里斯回忆起他的反应对此观察的理解是：“好吧，这就是自由式的终结，这会极大地伤害垂直滑冰。”

1990年前后的经济衰退对当时存在的职业滑板生态系统造成了致命打击。几年内，这项运动失去了许多场地和大型公共活动，甚至大部分失去了其“资金”——赞助。

这场危机迫使许多职业选手提前退役。有人可能会说，随着冠军和赞助的消失，衡量成功的衡量标准也随之消失，所有参与竞技滑板的激励也随之消失。

然而，这并非唯一，甚至不是主要指标，滑板运动在接下来的几年里持续并不断演变。

没有大规模观众的公开比赛和相关赞助，滑板手不得不寻找其他方式来交流和展示他们的作品。在这种情况下，经济和社会问题通过已有的技术得到了解决。

滑冰视频成为滑板手录制和传播作品的新媒介。过去，如果滑手花无数天完善一个精致的动作，他们最多只能在锦标赛中向几百甚至一千人展示。

而现在，展示多位滑手作品的录像带可以被数万人观看。过去，没有赢得多个冠军的滑手很可能不被认可。现在，滑手只需一个好的“部分”——视频中的一个滑手片段——就能被认可并为滑冰社区贡献新技巧。

最成功的“部件”会引入新花样或旧花样的新变奏，这些花招会被他人复制和采纳。

我注意到，滑板危机的解决让它变得不那么竞技，而是一个协作、富有创造性的领域，录像带扮演着期刊的角色[3]，而“部分”则扮演期刊文章的角色。

这种动荡的转变对滑板作为一项运动来说是最好的，但对许多个别滑板手来说却是不利的。这一生态系统至今基本保持不变（互联网视频取代了录像带）。

滑板者参与社区的动机，除了对滑板本身的热爱外，还在于他们的贡献可以通过视频展示，他们的想法可以与他人分享，后者可以尝试重复或以新方式组合。

穆伦说，发明只有在社区采纳后才会成为创新。这为衡量一项作品价值提供了衡量标准。在数学中，我们常谈论论文或想法的“影响力”，这完全类似于一个技巧具有影响力：社区是否采纳了这个想法，并加以改良？

这项工作是否让新手更容易理解该领域的最新进展？

重新夺回我们的数学遗产，以及数学的未来

我从文化技术中学到的一个教训是，大型语言模型中最宝贵的组成部分，对其输出中的任何价值负有最大责任的部分，是人类生成的作品，即其中编码的文化和技术遗产。整个夏天，最大的人工智能公司一直将解决引人注目的数学问题作为其产品公关的一种形式。 作为数学家，我们需要发挥对数学的好奇心和热爱，欢迎这些新知识，而不是让它的来源破坏我们对它的享受。我们必须反驳企业人工智能实验室正在宣扬的“人工智能在解决问题 X 方面击败了数学家”这一具有破坏性的误解。 相反，我们可以庆祝我们对数学的理解以及我们的创造力如何隐藏在数学法学硕士帮助我们发现的瑰宝背后。

在本文前面，我谈到了将法学硕士（技术）与人工智能（人工智能公司的产品和愿景）分开的重要性。好吧，我们还需要让我们的数学基础设施成为现实。 促进和努力建立一个开放的法学硕士世界需要成为社区的首要任务——想想法学硕士相当于自由软件。 如果我们的职业变得依赖于人工智能行业的突发奇想，那将是非常糟糕的，因为人工智能行业的领导者居住在道德宇宙中 如此独特 从我们在科学和数学方面的经验来看，与它们交往不会产生任何富有成果或真诚的东西 [4]。我们必须记住，内燃机从来都不是底特律汽车制造商的遗产或独家创造；它是底特律汽车制造商的专利。铁路和机车并不是镀金时代强盗贵族的专有遗产。因此，法学硕士从根本上来说并不属于湾区的大型工业实验室，这也是事实。 本文中的凸包视角表明，值得研究具有精心策划的数据的更轻的、特定于数学的法学硕士，并评估此类事情的技术（和财务）障碍的规模。 这将表明大型实验室的“护城河”并不像他们希望的那么深。

我们还应该以开放的态度对待法学硕士的使用，进行实验和探索，直到找到最符合我们价值观的法学硕士实践：正如瑟斯顿所说，促进人类对数学的理解。这也意味着作为一个社区努力尽量减少对数学职业的干扰，以便尽可能少的人经历那些别无选择只能提前退休的滑板运动员的命运。 这还必须涉及政策倡导：大幅增加对科学的公共资助，以及对大型人工智能实验室进行严格公共监督的政策倡导。 我们还必须尝试在数学领域创建新的社会结构和专业安排，以便我们能够让尽可能多的人留在数学界。 如果我们在这方面取得成功，数学界将从这个动荡的时期变得更加强大，为其他致力于向法学硕士无处不在的世界过渡的社区和行业提供榜样。

回到我们开始的地方，法学硕士“解决”非局域 ABP 或马勒猜想的成果，抛开环境因素，从严格意义上来说，将是该学科的胜利。 这并不意味着我们不能对此有复杂的感受。被一个活生生的、有思想的人所挖掘并不令人愉快，而被该领域的集体知识所挖掘、通过法学硕士进行加工和重新组合也同样令人不愉快。我们不应该感到震惊，而应该敬畏，不是对技术，而是对我们迄今为止所建立的数学知识的巨大和力量。 大型模型使这种巨大性变得显而易见且不容忽视。 数学家必须将这些发展视为我们学科的正当成果，并相应地为它们感到自豪、理解它们、采用它们，并继续推进数学发展。 我们很幸运，能够知道事物的原因。

笔记

[1] ““消化”是陶哲轩在他的著作中提出的一个术语。 ICM人工智能时代数学讲座，LLM生成证明的隐喻的一部分，将我们带入一个证明丰富的时代，就像大规模生产的食品一样。

[2] 我只是在欧拉和他 18 世纪法学硕士的假设场景的背景下才说“猜想”。

[3] 与此同时，在数学领域，我们实际上正在接近一种情况，我们将不得不转向期刊之后的任何内容，或者至少是目前所理解的期刊。

[4] 这里我特意借用了我一直喜欢的一句话。 它是伯特兰·罗素（Bertrand Russell）为了回应奥斯瓦尔德·莫斯利（Oswald Mosley）而写的。