数学之后：AI解题的边界在哪里

[这是一篇客座文章西尔维娅·德·托福利以及埃蒙·杜埃德.这篇博客文章最初是用不同的文件格式写成，并用AI进行转换。—— T.]

西尔维娅·德·托福利 （大学高级研究院，IUSS Pavia）
埃蒙·杜埃德 （普林斯顿大学和普渡大学）

2026年9月8日，OpenAI宣布他们提出了一个人工智能生成的纳维-斯托克斯存在与平滑性问题的解，该问题是千禧奖七大难题之一。这一宣布引发了关于信用分配以及人类与机器各自贡献的讨论。

此外，这一宣布加剧了与早期人工智能在被认为能体现人类智力领域的比较。在最近的一例中命题参与纳维-斯托克斯事件的数学家之一特里斯坦·巴克马斯特写道：“这是一个深蓝-卡斯帕罗夫时刻。”

数学的存在主义问题自然而然地浮现：如果人工智能现在能在数学的最前沿问题中提供答案，那么这个学科是否正处于“被解决”的边缘，正如许多人对国际象棋和围棋所说的那样？

像国际象棋和围棋棋手一样，数学家是否应该“继续下棋”，重新调整他们的实践？

“继续玩”的回答确实有其道理。正如哲学家C. Thi Nguyen所说（2019）一直坚持认为，玩游戏的目的并不止于其目的（胜利）。真正的重点不仅是结果，更是过程。

这在像扭扭子这样的派对游戏中或许比国际象棋更为明显：玩扭扭乐的目的显然不是赢。但类似的情况也适用于深层智力游戏，如国际象棋和围棋。

例如，在失败中，打得好可能是一种成就。

但在数学实践的语境下，这似乎是不必要的退缩。相反，我们可以采取更强有力的一步：拒绝将数学描述为一种游戏，这让退却显得必要.

因此，问题不仅仅是人工智能能回答最难问题后，数学之后会怎样。这也是我们最初做数学时所追求的。

认为人工智能“解决”了数学问题的说法基于两个假设，既诱人又合理，但都错误：

1. 人工智能确实解决了数学中的一个问题。
2. 数学只是解决问题。

第一个假设是错误的，因为要真正解决一个数学问题，仅仅提供一个答案（即使正式认证）是不够的。缺少的是人类数学家能够理解并用来推进数学目标的可理解证明。

正如我们下文将论证的，即使人工智能真的给了我们这样的证明，故事也不会因为第二个假设是错误而结束的。数学显然是一个远不止解决问题的事业。

数学家努力发展新的概念和理论，提出并回答新的问题，统一不同领域的差异，教育和维系学术社区，并产出因其美感和深度而受重视的工作。

因此，我们可以（也应该）拒绝人工智能在数学上击败人类的叙事，开始认真思考数学到底是什么，以及我们希望它成为什么样的人。

并非所有答案都是解决方案

OpenAI 给出了关于 Navier–Stokes 是否能发展奇点的问题的答案：是的.在银河系漫游指南，《深思》给出了关于生命、宇宙和一切的答案：42.这两者都不是我们想要的。

当然，OpenAI给我们的远不止“是”。Deep Thought只提供了一个数字，而OpenAI则产生了两个许多人愿意称之为证明的产物。第一个是精益形式化，证明有效性。

这附带了一份似乎包含相应非正式证明的手稿。那么，为什么这仍然令人不满呢？原因在于证明这一基本概念本身。

实际上，有两种证明概念：a合乎逻辑概念和一个可理解概念。

现代逻辑以演绎有效性来描述证明，使得证明可以通过机械程序检验，而该过程本身不需要理解数学论证。精益形式化正好符合这些标准，因此对纳维–斯托克斯结果进行精益形式化是真实且重要的贡献：通过满足逻辑证明概念的要求，它确保了确定性。

但数学家也希望证明中得到别的东西。他们想要理解（瑟斯顿 1994).他们想知道是什么使命题为真。这种知识依赖于他们能够理解、与其他专家沟通、连接现有知识并推动进一步进展的数学思想。

这就是可理解的证明概念。目前尚不清楚OpenAI的结果是否赋予数学界应有的可理解证明概念的价值。

真正的证明同时是逻辑证明和可理解的证明。历史上，这两个概念往往并存。这是因为没有数学家能在不先掌握使定理成立的一些关键可共享思想的情况下，做出极其复杂的逻辑证明。

逻辑证明概念主要用于验证可理解证明的正确性（伯吉斯与德托福利 2022).

但有了人工智能，这两个概念现在可以彻底分裂。我们最终可能会得到那些完全没有可理解证明的形式证明。

这并不是对形式证明的批评。反过来的问题至少同样严肃。一个可理解的数学论证可以传达宏大的观点，但无法证明结果实际上是真的。

Jaffe 和 Quinn（1993）著名地以瑟斯顿关于哈肯三维流形的几何化定理为例：伴随不够完整的证明的重大洞见可能成为“障碍，而非灵感”。

黑尔斯的飞斑形式化项目的一个动机是验证开普勒猜想中提出的可理解（但难以验证）的证明确实是真正的证明（Hales 等，2009).

因此，未能达到逻辑或可理解的概念会造成障碍，而真正的证明却为数学进步扫清道路。真正的数学解题需要逻辑正确性和可理解性。

这在七个千禧奖题中尤为明显。它们之所以被选中，并不是因为数学家们只是想要七个答案而是因为他们想要富有成效的解决方案.克莱数学研究所本身解释为什么证明在纳维-斯托克斯案中很重要：“因为证明不仅带来确定性，还带来理解。”

OpenAI给我们的是一个答案。但尚不清楚他们是否提供了富有成效的解决方案。也许我们会发现他们确实做到了，但目前形势远未明朗。

真正的解决方案不仅能为人们相信结果提供充分的依据，同时也提供一个可理解的数学论证，使结果成为数学家理解和实践数学的一部分。

然而，如果OpenAI提供的只是一个答案，这还不足以消除数学面临的生存威胁。未来的人工智能系统很可能会产出既正式认证又能完全被数学家理解的真实证明。

因此，当前关于数学即将被人工智能“解决”的担忧，仅仅坚持真正的解决方案而非单纯答案，并不能完全消除。

你需要的不仅仅是解题才能“解数学”

如果未来的人工智能系统能产出真正的证明，逻辑上正确且可理解，比如“大师级”数学家所提出的，那么认为数学会像有人说的国际象棋或围棋那样“被解决”仍然是错误的。

在国际象棋和围棋中，我们接受人类和机器之间极其不均衡的竞争，因为在相关意义上，两者都是，玩同样的游戏.

但数学不是（至少不是唯一）游戏。首先，没有赢家。数学不是对抗性的游戏，胜利条件是确定的。数学家们确实为名声、奖品、工作和信用而相互竞争。

棋手也会做这些事。但棋手也会赢棋。赢得数学没有相应条件。没有数学将死。

在数学中，更自然地将人工智能视为助手，而非竞争对手。作为杰里米·阿维加德（2026）说：“我们应该记住，人工智能不过是技术，旨在服务于我们的目的。认为数学家与人工智能竞争是错误的;当我们开车时，我们并不是在竞争谁能开得更快;当我们使用手机时，我们并不是在竞争谁能说话更大声。”

但竞争框架存在一个更深层次、且在许多方面更早存在的问题。这需要接受这样一个假设：解决问题是衡量数学成功的活动。

真正的问题解决无疑是数学的主要目标之一。然而，这并非数学的唯一目标。数学是学术群体参与、解读和消化的知识体系，而非抽象的结果登记册。

这一简单观点甚至激发了数学哲学中的一整个运动：数学实践的哲学.

陶特伦斯（2026） 列出了数学的许多目标，超越了解决问题。这些目标包括发展新理论和技术、理解世界、维系社区、培养下一代数学家、贡献积累知识以及创作具有美学价值的作品。

当然，这些都与真正的解决方案呈正相关。

但人工智能打破了这种相关性，原因与它区分了两种证明概念相同。因此，即使是真正的解决方案也无法满足我们。

这不是改变目标，而是认识到任何具体的目标都不够。如果数学是一场游戏，那它就是无限的游戏。

这种态度并非反动。我们既拒绝承认仅靠逻辑建立定理即可获得真正证明，也拒绝将“数学中的人工智能”简化为证明定理的观点。接受这一点后，我们或许会发现人工智能在数学领域支持人类数学繁荣的许多机会。

战后

我们不否认，如果OpenAI的宣布属实，这是一项非凡的成就。但我们应当明确这属于哪种成就。此刻，它是一个答案，而非解决方案。即使最终结果显现为真正的解决方案，我们也认为在数学实践中，解决方案并非一切。

重新思考我们在数学中所重视的事物的紧迫性，已经在数学界得到了认可。在最近的一例中声明最初由25位菲尔兹奖得主签署，数学家们警告说，人工智能公司与数学界的目标之间存在“严重的不一致”。

数学家需要更多地审视他们的规范。这里的问题不是优先级规范（尽管它很可能是另一个问题）。目前未能区分真正的解与答案，以及日益关注仅仅解决问题，才是问题所在。

这种思维方式受到当前数学信贷经济的启发，正如David Bessis最近在其著作中所讨论的博客信贷经济需要重新思考。

人工智能不是给数学一个终结，而是让数学实践面临选择。如果数学成功过于依赖于认证答案的产出，数学就有可能适应那些最容易基准和自动化的特征。

如果数学家将人工智能视为推进其长期且核心人类目的的技术，这项技术可能会加速学科的发展和丰富。因此，重要的问题不是人工智能是否能击败数学家，而是我们希望人工智能服务于哪种数学目标。

残留的不仅仅是机器吞噬所有真正问题后人类争夺的残余。相反，这是一个澄清数学本质的机会。我们应当再次问自己，当我们做数学时，我们追求的是什么。

（本文本的扩展版本将在其他地方出现。）