通往ε₀之路：短字典序也能排列数字序列

之前：

1. 序数与基本集合论
2. 序数作为尼姆堆
3. Nim 总是结束，即使有无限序数
4. 无限尼姆作为硬币移动游戏
5. 无硬币的搬币游戏
6. 高效的项目与合理的订单

在第四部分，无限尼姆作为硬币移动游戏我们看到如何将无限尼姆重新诠释为一个等价的游戏：不再是一堆豆子和各种特殊代币，而是先在轨道上移动硬币，然后在网格上移动，最后在一个难以想象的无限维空间中移动。

在第五部分，无硬币的搬币游戏我们不再去想硬币及其在空间中的位置，而是写下每枚硬币的坐标。每个硬币都有一个无限的坐标序列，每个坐标都是非负数。

但关键是，只有一个有限坐标的数量大于零，因此每个硬币的坐标列表都可以写成有限序列，隐含无限尾零。

尼姆最初的规则是：从任意一颗豆子中取出任意数量一堆积。

重新解释形式规则为：约简任意一坐标序列如下：

1. 选择任意非零坐标
2. 至少减少1
3. 将该坐标左侧的任何坐标替换为任意数字

例如，我们可以从 移动到 （该已减少），或从 移动到（已减少）。我们可以从 移动到 （该 已减少），或 到 ，也可以写作 。

既然我们已经了解了短字法的顺序，可以更简单地表述游戏规则：

替换任何一个一坐标序列，其中一个坐标较早按短列克斯顺序.

有一个小问题。我们定义了短法词顺序：

1. 如果序列长度不同，则较短的这是第一位的。
2. 如果他们是长度相同，用字典序比较。

这些都没有改变，但我们需要对“词典序”的说法保持谨慎。

当我们写普通数字时，比如239，我们将最重要的部分写在左侧。在这种情况下，是 ，代表 。当我们用字典序比较相同长度的数字时，我们会先比较这些最重要部分，只有当最左边的部分并列时才向右移动。

要字典序比较坐标序列或相同长度的序列，我们仍需从前述的最高有效部分开始。但由于我们写序列的方式，最重要的部分是最右边组件。

序列 表示豆类的nim-heap，而 是最重要的组成部分，因为它远远超过豆子。

我说过，从那个时候开始，Ordinals就开始变得可怕了。但现在一点都不可怕了。它只是nim-heaps家族，其中：

1. 我们不把堆看作是有限的有限数序列
2. 我们不是想象玩家从堆中取豆子，而是想象他们用一个短字元顺序中更早的序列替换该序列

对于与此类⸢heaps⸣进行Nim，获胜规则始终是将最后一个⸢heap⸣降至零的玩家获胜。

我们可以完全忘记豆子、无限堆积、无限种类的彩色代币、在无限维空间中移动的硬币等等。-Nim就是普通数的有限序列，你可以从一个序列移动到任意更早的序列。

我觉得它会在下一篇文章中出现。

Claude这周休假，把所有的破折号都带走了，所以我不仅得自己写整篇，甚至连破折号都不能写。