随机性是税——直到它不是

Sidhantbansal，Sidhant Bansal，个人网站，包含项目、写作与技术内容。关注

点击上方的“激活”,即可运行本文中的代码单元格。

本文是夏普邮报的配套内容，旨在深入探讨随机性既有益于我们、又可能带来负面影响的各种场景。

让我们将许多现实世界中的场景抽象为以下形式：

假设你得到一个随机变量X，而你或许对它的均值或分布有一定的控制权。随后，生活会将这个随机变量通过某个函数f进行处理，而你最终观察到的结果就是f(X)。

这是一种简单的世界观，却能很好地捕捉到大量令人惊讶的情境。

选取三种不同的场景

场景1

$f$ 是线性的。

假设你用一枚公平的硬币换取1美元，或者干脆选择不参与任何游戏。

如果你的效用仅仅等同于金钱本身，即$f(X) = X$，那么：

[E[X] = 0]

在两种情况下，结果都是一样的。

没有任何特别有趣的事情发生。

场景2

现在，假设你手头有1万美元——这可是一笔不小的数目——并且有两种投资选项：(i) 每年都能获得10%的稳定回报；(ii) 每年有50%的概率获得收益，同时有50%的概率遭遇-30%的亏损。

如果你必须长期持有这些投资，你会更倾向于选择哪一种呢？

如果只投资一年，那么预期收益其实相当接近：第一种方案能让你稳稳地拿到1.1万美元，而第二种方案则有50%的概率获得1.5万美元，也有50%的概率只拿到7000美元，因此其预期价值同样为1.1万美元。

不过，我们之前已经说过，你追求的是长期投资的成果。

在阅读更多相关内容之前，请先仔细思考这一练习。打开计算器，必要时在脑海中进行模拟，然后看看自己更倾向于选择哪一种。

假设你在T年后拥有的财富为：

[W_T = W_0 \prod_{t=1}^{T}(1+r_t)]

需要注意的是，收益并不是简单相加，而是相乘。

因此，与其直接计算$E[r]$，不如取对数：

[log(W_T) = log(W_0) + \sum_{t=1}^{T}\log(1+r_t)]

所以，长期的收益率增长速度由以下公式决定：

[E[\log(1+r)]]

对于选项（i）：

[log(1.1) ≈ 0.0953]

对于选项（ii）：

[\\frac{1}{2}\\log(1.5) + \\frac{1}{2}\\log(0.7) ≈ 0.0244]

尽管两者在算术意义上都拥有相同的10%预期收益率，但它们的长期复利增长率却大相径庭。

更一般地说，对于小幅度的收益：

[log(1+r) ≈ r - \\frac{r^2}{2}]

取期望值：

[E[\log(1+r)] ≈ E[r] - \\frac{1}{2}E[r^2]]

如果$\mu = E[r]$，$\sigma^2 = Var(r)$，那么：

[E[r^2] = \mu^2 + \sigma^2]

因此：

[E[\log(1+r)] ≈ \mu - \\frac{1}{2}\\mu^2 - \\frac{1}{2}\\sigma^2]

忽略掉$\mu^2$这一项后：

[E[\log(1+r)] ≈ \mu - \\frac{1}{2}\\sigma^2]

这就是波动率带来的拖累。方差悄然间对你造成了负担。

在这里，相关函数是$f(x) = \\log{x}$，而随机性最终变成了一种“税”。

场景3

假设有一份股票看涨期权。假设这只股票明天将以50%的概率达到80美元，或者以50%的概率达到120美元。那么，如果行使价为100美元，这份看涨期权的到期收益会是多少呢？

（实际上，它相当于以当前股票的“合理”价格买入该期权。）从直觉上来看，这似乎毫无价值——为什么我要花钱去以与明天股票预期价格相等的价格买入期权呢？

然而，不妨比较一下购买该期权后的预期收益：你将以50%的概率赚到20美元，也会以50%的概率空仓获利0美元，因此预期收益为10美元。

也就是说，该期权的价值为10美元。如果你在市场上看到该期权的价格更低，那就应该果断买入。此外，还要注意到，如果股票的波动性更高，比如达到70/130或60/140，那么期权的预期收益还会更高；因此，股票的波动性越大，期权的价值也就越高。

这也正是为什么做多期权意味着你是在押注波动率的上升。

在这里，相关函数是：$f(S) = \\max(S-100,0)$，其中$S$代表到期时的股票价格，而随机性最终变成了资产。

规律

至此，我们已经见识了随机性：

随机性什么也不做
随机性会对我们造成伤害
随机性反而能帮助我们

究竟发生了什么变化？

在场景1中，$f$ 是线性的。$f(x) = x$

这里没有曲率。随机性既不会带来益处，也不会造成伤害。真正重要的只有均值。

在场景2中，$f$ 是凹函数。$f(x) = \\log x$

糟糕的结果造成的伤害远大于好结果带来的帮助。随机性最终成了一种“税”。

在场景3中，$f$ 是凸函数。$f(S) = \\max(S-100,0)$

糟糕的结果被限制在零，而好的结果则持续增长。随机性最终化身为资产。

这种现象可以用杰森不等式来概括。

对于凸函数：$E[f(X)] \\geq f(E[X])$

对于凹函数：$E[f(X)] \\leq f(E[X])$

杰森演示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 使用同一随机变量
# 将X视为明天的股票价格
x_vals = np.array([80, 120])
probs = np.array([0.5, 0.5])

EX = np.sum(probs * x_vals)

functions = [
    ("线性：$f(x)=x$", lambda x: x),
    ("凸函数：看涨期权 $f(x)=\\max(x-100,0)$", lambda x: np.maximum(x - 100, 0)),
    ("凹函数：$f(x)=\\log(x)$", lambda x: np.log(x))
]

x_grid = np.linspace(60, 140, 400)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))

for ax, (title, f) in zip(axes, functions):
    y_grid = f(x_grid)
    y_vals = f(x_vals)

    EfX = np.sum(probs * y_vals)
    fEX = f(EX)
    gap = EfX - fEX

    ax.plot(x_grid, y_grid)
    ax.scatter(x_vals, y_vals, s=90, color="red", zorder=3, label="X可能的取值")
    ax.scatter([EX], [fEX], s=110, zorder=4, label="$f(E[X])$")

    ax.axvline(EX, linestyle="--", alpha=0.6)
    ax.axhline(EfX, linestyle=":", alpha=0.8, label="$E[f(X)]$")

    ax.set_title(title)
    ax.set_xlabel("$X$")
    ax.set_ylabel("$f(X)$")
    ax.legend(fontsize=8)

    ax.text(
        0.03, 0.95,
        f"$E[X]$ = {EX:.1f}\n"
        f"$f(E[X])$ = {fEX:.3f}\n"
        f"$E[f(X)]$ = {EfX:.3f}\n"
        f"差距 = {gap:.3f}",
        transform=ax.transAxes,
        verticalalignment="top",
        bbox=dict(boxstyle="round", alpha=0.15)
    )

plt.tight_layout()
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 使用同一随机变量
# 将X视为明天的股票价格
x_vals = np.array([80, 120])
probs = np.array([0.5, 0.5])

EX = np.sum(probs * x_vals)

functions = [
    ("线性：$f(x)=x$", lambda x: x),
    ("凸函数：看涨期权 $f(x)=\\max(x-100,0)$", lambda x: np.maximum(x - 100, 0)),
    ("凹函数：$f(x)=\\log(x)$", lambda x: np.log(x))
]

x_grid = np.linspace(60, 140, 400)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))

for ax, (title, f) in zip(axes, functions):
    y_grid = f(x_grid)
    y_vals = f(x_vals)

    EfX = np.sum(probs * y_vals)
    fEX = f(EX)
    gap = EfX - fEX

    ax.plot(x_grid, y_grid)
    ax.scatter(x_vals, y_vals, s=90, color="red", zorder=3, label="X可能的取值")
    ax.scatter([EX], [fEX], s=110, zorder=4, label="$f(E[X])$")

    ax.axvline(EX, linestyle="--", alpha=0.6)
    ax.axhline(EfX, linestyle=":", alpha=0.8, label="$E[f(X)]$")

    ax.set_title(title)
    ax.set_xlabel("$X$")
    ax.set_ylabel("$f(X)$")
    ax.legend(fontsize=8)

    ax.text(
        0.03, 0.95,
        f"$E[X]$ = {EX:.1f}\n"
        f"$f(E[X])$ = {fEX:.3f}\n"
        f"$E[f(X)]$ = {EfX:.3f}\n"
        f"差距 = {gap:.3f}",
        transform=ax.transAxes,
        verticalalignment="top",
        bbox=dict(boxstyle="round", alpha=0.15)
    )

plt.tight_layout()
plt.show()

在这三幅图中，随机变量始终相同：$X$要么是80美元，要么是120美元，且概率相等。唯一改变的是函数的形式。

对于线性函数，随机性什么也不做。

对于看涨期权，随机性起到了积极作用：$E[f(X)] > f(E[X])$。

对于对数函数，随机性却带来了负面影响：$E[f(X)] < f(E[X])$。

不等式只是数学上的表达而已。关键在于随机性如何与函数的曲率相互作用。

其他例子

保险定价：从原始的预期价值角度来看，保险往往显得像一笔“亏本”的交易；然而，当您具有风险厌恶心理，也就是您的效用函数是$\\log{W}$或$\\sqrt{W}$，其中$W$代表您的财富时，保险实际上有助于降低您财富的波动性，从而变得颇具价值。当财富经过一个凹函数的效用函数时，降低波动性反而能创造价值。这也是为什么尽管保险的原始预期价值为负，但它们依然存在，并且发挥着重要作用。
杠杆ETF：TQQQ在横盘市中长期持有时，之所以容易遭受损失，是有原因的。（当$\sigma$较高时）$E[log(1+r)]$会变为$E[log(1+3r)] \\approx 3\\mu - \\frac{9}{2}\\sigma^2$。请注意，波动率拖累的规模扩大了9倍，而预期收益仅提升了3倍，因此波动率拖累逐渐占据了主导地位。

值得深思：许多现实世界系统并非线性。在“胜者为王”的体系中，收益函数往往呈凸形。创业公司、科研领域、内容的传播力、体育运动，以及某些职业，往往带有这样的特征：大多数尝试都收效甚微，但一个异常出色的成果却能彻底改变一切。在这样的体系中，随机性未必只是噪音，它甚至可能是你通往收益高点的钥匙。

结论

我们大多数人曾在学校里接触过杰森不等式，解了几道习题，然后便认为这只是又一个数学公式而已。然而，许多现实世界的决策都可以被建模为：将一个随机变量通过某个函数进行处理，并关注输出的预期值。

无论是从投资机会中做出选择，还是购买保险，抑或是决定使用多少杠杆，我们往往都在隐含地决定要向何种程度的随机性敞开心扉。杰森不等式告诉我们，答案不仅取决于随机性本身，还取决于它所经过的函数的形状。

随机性本身并不一定是好是坏。

在线性系统中，随机性往往会被冲淡、被抹去。

在凹函数系统中，随机性则会变成一种“税”。

在凸函数系统中，随机性则会化身为资产。

添加评论

点踩

分享查看原文

参与讨论