陶哲轩解析雅可比猜想反例：AI发现与几何重构

臭名昭著的 雅可比猜想 可以用复数域来具体表述如下。

猜想 1（雅可比猜想）：设 是一个关于复变量的多项式映射，其雅可比矩阵为非零常数。则 为可逆的（且其多项式反函数亦为可逆）。

雅可比矩阵非零的条件等价于该映射在局部上是可逆的。 （局部可逆性从雅可比矩阵非零这一条件出发，可由反函数定理得出； 而反之，则可由魏尔斯特拉斯准备定理 推导出来，但此处不予赘述。此外，根据代数基本定理，一旦雅可比多项式非零， 它必然是常数。因此，可以将“雅可比矩阵为非零常数”这一假设替换为“ 在局部上是可逆的”。由此，雅可比猜想可以被理解为：局部可逆性蕴含全局可逆性的命题。 通过莱夫谢茨原理， 我们可以轻松地将复数域替换为其他特征为零的域，但我更倾向于在复数域这一具体的框架下进行研究。

最近，正是通过 近期播出（借助 Fable AI）发现，该猜想在三维空间中为假（进而也适用于更高维度）：

定理 2（对猜想的反例）：存在一个多项式，其雅可比矩阵为非零常数，但却不可逆。

该猜想在二维空间中仍未被证明，而在一维空间中则很容易得到证明。

该例子可以完全明确地表述如下：我们取

并可通过简短的计算验证：

以及

尽管这一验证过程极其迅速，但以这种方式构造出的这个多项式却仿佛一场巨大的奇迹。 该多项式的次数为七，因此按理说，其雅可比矩阵应当是一个三变量的多项式，其次数高达 ，而该多项式中所有非恒等系数都为零这一事实，似乎是在用方程进行了一场规模庞大的抵消运算——这种抵消的幅度远超一般次数为 s 的多项式所具有的自由度……