土星漂浮计算：它到底有多少在水下？

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你可能在某处看到土星的密度低于水。如果有一个足够大的浴缸能装下它，土星会漂浮。 我记得我第一次读到这句话是在艾萨克·阿西莫夫的科学论文集里。 如果你做图片搜索，很容易找到许多插图土星漂浮在水中。 大多数照片显示土星在水下的部分不超过一半。 这会是真的吗？

因为今天下午我本该做几件事，我决定算算这些图像中土星应该有多少部分浸没在水下。更好的是，我会做一个更通用的问题：如果球体的密度低于液体，液体中会浸没多少球体？

以下是问题的横面：

我们假设球面的半径为r，直径d=2r，均匀密度为ρs。液体的密度为ρ l。由于球体漂浮，ρ s < ρ l。距离b是球体底部离液体表面有多远。

该系统的力学很简单：被浸没部分球体置换的液体质量等于球体的全部质量。也就是说，

ρ l V b = ρ s V s

其中

V b = π b 2 3 （3 r − b）

是球体浸没部分的体积，

V s = 4 3 π r 3

是整个球面的体积。这些表达式通常以r为单位表示，正如我在这里展示的，但最终我想计算b的值作为d的分数。

事实上，既然我想画一个需要纯数值的图，我们就用无量纲方式来定义变量，说

β = b r a n d ρ = ρ s ρ l

把这些加起来做点代数计算，我们得到

r ρ l （ β 3 − 3 β 2 + 4 ρ ） = 0

由于r和ρ l都不是零，括号内的表达式必定为零。换句话说，

ρ = 1 4 ( 3 β 2 − β 3 )

由于0< β ≤2，方程右侧必须大于零，因此我们无需担心负密度。

通常，我们会想计算给定值ρ的β，因此这个方程形式并不最有用。但即使我们希望 ρ 在水平轴上，使用该方程绘制数值也很简单。

我之前提到过，我更倾向于将深度b表示为直径的分数，而不是半径，即，

b d = b 2 r = β 2

这是那个图表，呈S形形状：

要确定土星有多少部分会被淹没在水下，我们需要土星的密度，这可以在NASA的旧数据中找到土星事实说明， 存档于网络档案馆。它是687千克/立方米，这意味着我们的密度比是0.687。 查阅图中，我们看到土星被淹没的部分直径约为其直径的60%到65%。 快速数值解算得直径的62.7%。只有37.3%会是高干旱的。

所以那些显示土星直径超过一半露出水面的插图都是湿的。1当然， 仅仅看到土星的比重超过0.5就足以说明大部分土星都在水下，但现在我们可以给它一个数字。

是的，我去过那里。↩