平面魔方：上帝数至少为27
数学家 James Propp 设计了一款名为"平面魔方"的二维谜题：六边形区域内用菱形铺满，每次可绕小六边形中心旋转三块菱形。文章证明其"上帝数"至少为27——通过两种可视化方法：将铺砖视为三维堆叠方块（每次操作加减一块），或视为一维算珠滑动。 该谜题已实体化，由 puzzle 设计师 Oskar van Deventer 和 Dmitry Andreev 合作制作。精确的上帝数仍是开放问题。 
Mathenchant
Mathematical Enchantments，James Propp 每月关于数学与相关话题的文章。
评论
点赞
收藏
十七峰骆驼与数学解题的巧妙技巧
文章通过七个经典的数学谜题，揭示了一个共同的解题技巧：通过引入一个额外的虚拟元素（如借来的一峰骆驼、额外的蓝椰子、一条虚拟边、一张王牌等）将问题转化为更易处理的形式，求解后再移除该元素。 这种“添加再移除”的策略在数论、图论、概率和组合数学中都有应用，展示了数学思维中的巧妙与优雅。 
对不起，玛丽：当数学正确却导致文明毁灭时
这是一篇极具讽刺意味的反乌托邦科幻短篇。作者以第一人称回顾了一篇在2021年发表的、利用数学模型（指数增长与逻辑斯蒂曲线的不确定性）驳斥“太阳冷却灾难论”的文章。 当时，这篇文章帮助公众识破了NASA科学家和“Project Arclight”计划的骗局，作者因此成名并获利。然而，五年后的2026年，随着太阳变暗现象达到临界点，真相反转：之前的驳斥虽然数学上严谨，却因误导全球放弃应对而导致了人类文明的毁灭性灾难。 文章结尾，作者在末日背景下忏悔，感叹“我的数学是对的”，但代价是人类灭绝。这是一个关于科学傲慢、模型局限性与道德责任的深刻寓言。 
矩阵乘法丑陋吗？一位数学家对《纽约客》误读的回应
作者反驳《纽约客》一篇文章中关于“矩阵乘法缺乏美感与对称性”的观点。文章指出矩阵乘法本质是变换的组合，顺序不同结果不同是几何变换的自然属性，而非缺陷。 作者区分了“计算过程的繁琐”与“数学概念的美学”，认为将重复计算视为丑陋是混淆了劳动与思维。对于AI和工程领域，矩阵乘法的高效组合能力是其核心价值，这种非交换性恰恰建模了现实世界中复杂的依赖关系。 
当 1+1+1 等于 1：数学中“三次即一次”的奇妙运算
文章探讨了数学中一类特殊的运算性质：执行三次该运算等同于执行一次。作者通过三个例子说明了这一概念：几何中的正交补运算、直觉主义逻辑中的三重否定，以及社交网络图论中的邻域操作。 这类运算不同于常见的对合运算（两次等于零次），其规律是奇数次运算结果相同，偶数次（非零）结果也相同。文章还纠正了作者此前关于拓扑学外部集运算的一个错误认知，指出其遵循四次等于两次的规律。
描绘数学：可视化Ford Spheres与分形的视觉直觉
作者James Propp探讨了数学可视化（Visualizing Math）的重要性，特别是针对“Ford Spheres”这一鲜为人知的三维分形。文章结合了作者个人的研究经历（如Rotor-router blobs的视觉困惑）和与动画师Roice Nelson的合作，展示了如何通过动态截面图来理解复杂的数学对象。 文章不仅解释了Ford Spheres的数学定义（有理数的几何替代），还强调了可视化对于非数学专业人士理解抽象概念（如“稠密但测度为零”）的价值，以及视觉直觉如何启发新的数学研究。
定制化的随机性：当高尔顿板遇上算法设计
作者参与设计莫数学博物馆的新展品“Draw Your Own Conclusions”。这是一个可编程的高尔顿板（Quincunx），观众可以绘制任意概率分布曲线，算法自动调整内部挡板偏置，使落球分布匹配该曲线。 作者分享了背后的算法思路，将其视为一维图像的序列压缩问题。虽然2026年展出的将是虚拟模拟版，但这展示了随机性与确定性算法结合的创新交互体验。
当 0.999... 不等于 1 时
文章探讨了数学中一个有趣的现象：在常规实数系统中，0.999... 等于 1。但在 Sophie Morier-Genoud 和 Valentin Ovsienko 提出的 q-变形有理数系统中，情况变得不同。 作者通过具体例子说明，当分数从上方或下方趋近于极限时，其 q-变形的极限值可能不同，导致看似相同的数在 q-世界中拥有不同的“化身”。 这不仅挑战了直觉，还揭示了数学结构的丰富性，例如黄金比例的 q-变形与组合数学中的广义卡特兰数有关。文章最后指出，虽然这一领域尚处于起步阶段，但它为理解数学的多样性和一致性提供了新的视角。 
数学与博物馆：一只永不相撞的海狸背后的工程与逻辑
作者以纽约数学博物馆(MoMath)的“海狸跑(Beaver Run)”展品为核心，讲述了一个融合数学原理与工程挑战的故事。该展品利用特鲁谢瓦瓷砖(Truchet tiles)构建动态轨道，通过精密的速度同步确保两只海狸在重配轨道时永不相撞。 文章不仅揭示了展品背后的拓扑学证明逻辑（红蓝着色法），还回顾了该展品从设计受阻、长期故障到被粉丝资助重建的曲折历程。内容兼具科普趣味性与幕后工程洞察，适合对数学可视化、博物馆设计及STEM教育感兴趣的读者。 
1是质数吗？这重要吗？
文章探讨1是否为质数这一数学定义问题。历史上欧拉、哈代等数学家曾视1为质数，现代共识排除1主要是为了避免算术基本定理和埃氏筛法中的表述冗余与尴尬。 作者通过假设与黄金巴赫、尼古马库斯辩论，指出数学定义是人类为了理论简洁和美感的约定，而非绝对真理。核心观点是：虽然定义本身不影响数学事实，但理解定义的“人为性”有助于打破对数学教条的迷信，欣赏数学背后的逻辑选择。
圆周率差点就不是现在这样了
文章探讨了圆周率符号π代表3.14...而非2π的历史偶然性。指出在数学史上，欧拉曾长期在π代表3.14和6.28之间摇摆，最终因遵循阿基米德直径比的传统而定型。 作者认为若当年侧重半径测量，现代数学可能已普遍采用τ（即2π）。文章还提及了Tau运动及幽默的“π≈3”近似论，核心观点是：当前π的定义更多源于历史习惯而非绝对最优，引发对基础数学常数定义的重新思考。
戴德金的微妙之刀：实数基础的优雅与局限
文章探讨了理查德·戴德金如何通过“戴德金分割”为实数系奠定严谨基础，将抽象的无理数转化为有理数的集合划分。作者詹姆斯·普罗普指出，虽然这种方法在纯数学逻辑上优雅且解决了“空洞”问题，但在实际计算、微积分教学和应用数学中却显得笨重且缺乏实用性。 文章还追溯了古希腊欧多克索斯的比例论，揭示其思想与戴德金分割的同构性，强调数学概念从几何比例向代数实体的演变。核心观点在于：数学基础构造往往服务于理论美感而非工程便利，理解这一张力有助于看清现代分析的根基。 
数学能拯救你的灵魂吗？
作者通过数学教学中的案例（如蒙提霍尔问题、导数连续性等反直觉现象），论证数学不仅是解题工具，更是训练“辨别力”（Discernment）的途径。 数学辩论能让持不同观点者在尊重中达成共识，这种经历让人意识到人类直觉的局限性，从而学会谦逊。文章指出，如果连人类自己定义的数学概念都能产生反直觉的真理，那么面对更复杂的外部世界时，我们更应保持对复杂性的敬畏和审慎，避免盲目自信。 这是一种对抗认知傲慢、促进理性对话的哲学视角。 
勤劳的骰子：一种节省点数的数学游戏设计
作者作为数学家设计了一种“省点数”的多面体骰子（如十二面体模拟六面骰，三十面体模拟十五面骰）。核心逻辑是通过计算可见面的点数总和来生成随机数，从而大幅减少所需点数。 文章详细解释了背后的几何原理（Schlegel图）和数学约束，并指出虽然这些骰子在数学上优雅且高效，但由于视角限制，在实际桌游中难以被多人同时读取，因此更多是数学娱乐而非实用产品。
我们的分数宇宙：一场关于科学泡沫与认知悖论的讽刺寓言
这是一篇充满讽刺意味的科幻寓言。作者虚构了“分数理论”在物理学界引发的一场疯狂运动：从夸克电荷问题到F理论统一场论，甚至涉及意识研究。 文章通过荒诞的“汉堡悖论”、“无限扫地”和“理发师困境”，戏仿了学术界盲目追随热点、忽视基础逻辑、以及“为了创新而创新”的现象。 结尾暗示这种理论可能只是另一种形式的“郁金香狂热”。对于科技读者来说，这是一篇关于科学哲学、学术泡沫和认知偏差的精彩幽默小品。 
当1+1等于1：布尔代数如何重塑数字世界
文章讲述了布尔代数的历史演变。乔治·布尔最初用代数符号表示逻辑类，但他坚持类相加必须不相交，导致1+1无意义。威廉·杰文斯后来放宽定义，允许类重叠相加，确立了1+1=1（即并集运算）的规则。 这一数学逻辑的修正最终被香农应用于数字电路设计，成为信息时代的基石。文章通过历史细节展示了数学概念如何从哲学争论演变为工程工具。 
所谓的“犹太数学”？
文章通过一个数学计算小测验引入，揭示了20世纪初德国数学家将思维风格种族化的荒谬历史。作者详细讲述了纳粹时期哥廷根数学研究所的衰落，特别是埃米·诺特等犹太天才被驱逐的过程。 核心观点在于批判那种用种族或民族标签来定义学术风格的伪科学行为，并指出这种偏见如何扭曲了数学史。这是一篇结合数学史、社会心理学和反法西斯叙事的高质量深度文章，适合对科学史和社会议题感兴趣的读者。 
加减乘除的解放：从数字到抽象代数结构
文章回顾了数学史上加法和乘法从具体数字中解放出来的过程。重点讲述了柯西和克罗内克如何通过多项式余数来定义复数单位i和无理数根号2，而非直接定义为数字。 随后介绍了戴德金、希尔伯特到埃米·诺特如何建立抽象的“环”和“域”概念。核心观点是：通过模掉理想（quotient construction），数学家们发现加法和乘法不仅适用于数字，也适用于多项式、序列等更广泛的代数结构。 这是一篇关于抽象代数思想起源的高质量科普，适合对数学史和基础理论感兴趣的读者。 
空沙拉：为什么“什么都不做”恰好只有一种解法
文章通过“空沙拉”这一趣味概念，通俗解释了数学中 0! = 1 和 2^0 = 1 的逻辑必然性。作者从组合数学出发，论证了“什么都不做”也是一种确定的状态（即1种方式），并延伸至斐波那契数列和卡特兰数在 n=0 时的边界情况。 这种将抽象数学定义具象化为生活隐喻的写法，既有趣又严谨，非常适合对数学逻辑感兴趣的科技读者。