排序不等式及其推广

排序不等式是一个经典的不等式，本身不难理解，很多读者可能在中学阶段就已经了解过它，尤其是准备过数学竞赛的同学。但排序不等式也远不止表面上那么简单：它在矩阵世界中有一个深刻的对应物——冯·诺伊曼迹不等式；它还可以沿着“多序列”、“多矩阵”的方向继续推广。

本文就沿着这条线索，将这些内容串联起来介绍一下。

基本形式

设有两个从大到小排好序的实数列$a_1\geq a_2\geq \cdots\geq a_n$和$b_1\geq b_2\geq \cdots \geq b_n$，注意这里不需要非负约束，$\tau(1),\tau(2),\cdots,\tau(n)$表示$1,2,\cdots,n$的任意排列，那么成立排序不等式
\begin{equation}\sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_{\tau(i)}\leq \sum_{i=1}^n a_i b_i\end{equation}