数的概念的发展

读高中的时候，你有没有想过： 为什么会有虚数这种很反直觉，让人感觉不合逻辑的概念的存在？ 虚数的出现到底是为了解决什么问题？ 答案其实很简单，虚数的出现是为了解决实数系统的不完备性。 什么意思呢？在数学中有一个很重要的概念叫“封闭性”。一个数集对某种运算封闭，意思是你在这个数集里任取两个数进行这种运算，结果仍然在这个数集里。 自然数对加法封闭，因为任何两个自然数相加，结果还是自然数。 但自然数对减法不封闭，因为3-5等于-2，-2不是自然数，于是我们引入负数，把自然数扩展成整数。 整数对乘法封闭，但对除法不封闭。于是我们引入分数，把整数扩展成有理数。 有理数对四则运算都封闭了，但对取极限不封闭。有些有理数列的极限是无理数，不在有理数集里。 于是我们引入无理数，把有理数扩展成实数。 实数看起来已经很完美了，但他对开方运算不封闭，负数的平方根不在实数集里。 于是，我们引入虚数，把实数扩展成复数，复数对代数运算终于封闭了，任何一个负系数多项式方程在复数范围内都有解。 这就是著名的代数基本定理，N次方程在复数范围内恰好有N个根。 所以虚数的出现不是数学家的心血来潮，而是数学结构内在逻辑的必然要求。 当运算规则遇到边界，要么放弃运算的普遍性，承认有些运算没有结果，要么扩展数的范围，让运算继续成立。数学家选择了后者，于是虚数诞生了。 这个选择背后有一个深刻的哲学：保护运算规则，牺牲直观意义