每个阶数都有幻六边形
数字19有什么特别之处？
上个月，YSDA校友们在学校19岁生日时的一次对话中提出了这个问题。有人指出19是双质数。还有人回复说，19是唯一一个非平凡的普通魔法六边形中的细胞数。
等等，什么是“魔法六边形”？我们从这里开始。
关于人工智能辅助数学的说明
最近，我们听到很多关于人工智能奇迹般地证明和推翻长期存在的猜测的消息，往往没有太多解释是如何做到的。
这个故事深入探讨了这一数学发现的过程。
魔方阵与魔六边形
你可能知道魔方阵。魔方格是一个方格数字网格，其中每一行、每列和两个主对角线加起来总和相同，称为魔常数。我们通常还要求数字是连续的——通常是从$1到$n^2$——并称之为正常魔方阵。
否则，我们也可以直接把同样的数字放进每个单元格，那样填一个方格会非常无聊。
本页所有插图均为互动式。点击它们！
魔方阵已经存在数千年，现在也被非常了解。我们有算法可以构造每个阶数的正规魔方阵$n>2$。
魔法六边形也将同样的原理应用于六边形网格。其单元在三个方向上形成直线，且每条直线的和都必须相同。与正方形类似，魔法六边形称为“魔法六边形”正常如果它包含从$1$到$3n^2-3n+1$的连续数字，则为$n$的六边形中格子总数。
上图你可以看到唯一一个非平凡的普通魔法六边形——除了它自身的旋转和反射。证据很简单。在三个方向中，单元格被划分为价值2n至1美元的线。
因此，所有数字的和必须被$2n-1$整除。对于每个订单$n>3$，$1$到$3n^2-3n+1$之间的数字之和不通过此整除测试。
好吧，故事就在这里结束，那就没什么意思了。为了让事情更有趣，我们来看所谓的异常魔法六边形。这里我们放宽一个限制：网格上的数字仍必须连续，但不必从1美元开始。
这种小小的放松突然让新的解决方案出现。
然而，找到他们并不容易。与魔方阵不同，它没有公式化的构造或确定性算法。唯一已知的方法是在一个极其庞大的搜索空间中漫游，可能安排各种方案。
根据维基百科截至2026年7月，已知的最大解是由克劳斯·梅弗特于2024年发现的阶数为$n=9$的六边形。
所以......为什么这些解决方案如此难以找到？那我们试试怎么样？
第一章：观察（用人脑）
两个独立约束之间存在明显的张力：
- 数字必须是连续的;
- 所有线和必须相等，尽管线长不同。
我之前找到的解决方案表明，人们已经尝试过多个搜索算法，并且很可能已经优化得很好。这让我觉得，如果我想推动这个领域的发展，我应该关注的不是让搜索速度更快，而是要缩小搜索空间。
观察：反对称六边形要简单得多
首先，我们将网格上的数字限制在对称区间 $-K，\ldots，K$，对于某个$K$。如果所有线和相等，这等价于要求每个线和为零。
第二，在中心放置0美元，要求在180度旋转下相对的单元格值相反。如果一个胞子包含$x$，则其对跖胞子的元素是$-x$。
注意有多少约束消失了。每条通过中心的直线都会自动加为零，因为它们的值在相反的对中相互抵消。每隔一条直线就有一个对跖线，对跖点对跖点的对跖点对跖点数之和。
如果其中一个和为零，另一个也为零。
当然，简化约束会带来风险：也许没有解满足额外对称性。此时，反对称性仅仅是一个合理的搜索对象，遵循醉汉原则.
但当我开始思考零和六边形时，另一种结构出现了。
观察：每个零和六边形都由同一个六点环构成
简要说明
这一观察很有趣，但对接下来的内容并非必需。如果你觉得难以理解，可以跳过这部分。
考虑任何六边形网格，无论是否零和。取围绕任意内部点的六个单元格，加入交替模式 \（[-1，+1，-1，+1，-1，+1].\），保持中央单元不变。
每一条与该环相交的直线要么无贡献，要么获得两个相反的贡献，分别是$+1$和$-1$。因此，其总和保持不变。我们可以在不改变任何行和的情况下添加该模式的任意倍数。
这些局部交替环构成基底：每个零和六边形都可以作为它们的唯一线性组合构建。为了简洁起见，我就省略证据了，但这个想法其实很直接。
从外层开始，选择抵消其胞的环系数，然后剥离该层，通过归纳法继续向内扩展。
因此，一个阶$n$的零和六边形有两个等价的表示：
- 其可见单元数值;
- 一个阶-$（n-1）$势场记录每个局部环所包含的多少。
势场表示也通过构造满足所有线和约束。然而，它并不保证可见值是独立且连续的。这些仍然是全球范围内的艰难限制。
下面你可以尝试三阶反对称六边形的势场。注意无论你如何改变势场，六边形中的直线和都保持零。然而，让六边形变得“魔法”依然是个非常难的挑战。
（可惜这个游乐场对手机读者来说看起来很小）
这种表示也很好地与反对称性相配合。反对称六边形的势场本身也是对称的。
其理念是，我们不再在任意排列中搜索并反复修复断线，而是可以完全在每条线相和为零的空间内搜索。这可能——也可能不是——求解器搜索空间更小。
第二章：寻找新的六边形（AI编写代码）
差不多在同一时间，我也在帮忙预先解决问题午夜代码杯2026，一个明确鼓励使用大型语言模型的编程竞赛。它的许多任务都是优化问题。
我主要的结论是，LLM在开发特定领域求解器方面非常有效，而通用工具则是Z3以及运筹工具远远落后。
所以我没有选择另一个通用的约束求解器，而是选择了GPT-5.6 Sol，给了它更多自由度。我指出了反对称限制和势场表示。该模型寻找相关概念，并将问题与赫夫特数组联系起来：即带有定义零和条件的带符号整数的组合排列。
这些问题并不完全相同，但这种联系建议了更好的方法来组织价值并交换价值，同时控制受影响的金额。
最终程序放弃了通用的约束-求解方法，转而采用定制模拟退火。随后我进行了多轮优化的尽职调查：让模型使用Numba作为热环，识别内存分配和随机数生成瓶颈，使用perf最终，程序又挤出了50%的性能。
这是最终结果.
然后我让它在家用服务器上运行了几天，大约有24个CPU核心。
正如我所希望的那样，较小的搜索空间和专用求解器的结合效果出奇地好。很快我发现了各种阶数的魔法六边形，大小可达$n=21美元。以下是它们：
秩序 21
加载中......
单元数值看起来混乱且杂乱。它们的潜在领域则不然。它们类似于地形图，有宽阔的坡度、山脊、山谷，以及出人意料地平滑的过渡。
我还不知道这种光滑是线索还是搜寻的痕迹。无论如何，看着那些景观很难不怀疑下面藏着某种更大的建筑。
第三章：寻找所有六边形（AI主导）
反复找到更大解自然会引出一个猜想：
猜想
每个$n>3$的阶级都存在异常的反对称连续魔法六边形。
这是一个很有力的主张。在这个项目之前，只有少数几个异常魔法六边形被发现。别忘了我还加了反对称的额外限制。
但受到人工智能在数学领域近期成功的启发，我很好奇它将如何解决这个问题。人工智能能从一开始就证明这一点吗？
我决定尝试两种人工智能系统：
- GPT-5.6 索尔，通过我个人订阅能获得的最强通用模型;
- 亚里士多德，一个面向精益定理的证明代理。
我首先给了GPT-5.6 Sol（高）问题陈述、已知解法以及几个额外的直觉。它提出了新的假说和可能的构造，然后开始逐步削减，将问题缩小成更小的部分。
这项工作逐渐获得关注。此时，我仍感觉自己处于主导地位：学习陌生的数学机制，检查论证，拒绝无效的方向，并引导一个我大致能跟随的过程。
几天的迭代过去了。问题被简化为几个关键引理，于是我请来亚里士多德并行进行形式证明。
最终，这个过程陷入了停滞。两位特工都保持乐观，但显然陷入僵局，反复讨论同样的想法，却没有取得实质性进展。我将这一猜想削弱为更谦逊的说法：存在无限多的异常魔法六边形。
我们探索了新的假说，甚至是非建设性的方法。
不过，我们还是遇到了瓶颈。
然后我使用了GPT-5.6 Sol（最大值），它推理了好几个小时......也没找到证据。不过，在字幕用尽之前，它产生了几个新点子。这些想法成为项目共同背景的一部分，并在后续对话中得以保留。
在一次对话中，当我再次引导GPT-5.6 Sol（高）进行证明时，它采纳了几个早期想法，并将其组合成看似突破性的成果。经过计算验证，我对每个订单$n>800$（除以$16$）都有一个建设性论证。
一旦站稳脚跟，作品才真正获得了关注。一次又一次迭代，我推动GPT-5.6 Sol（高）来推广构造：先是可被$8整除的阶数，然后是$4，再是$2，最后完全去除可整除条件。
证明门槛也从800美元降至114美元。
114美元的门槛需要正确理解。这是一个方便的界限，使得证明的不等式和组合选择在理论上易于证明。这似乎不是构造的根本限制，因为实际上，同一方法在该阈值以下也能成功。
一旦有了总体构造，我又推动了简化和决定论。很明显，最初的建造包含了许多特殊情况、辅助选择以及继承自前次尝试的机械部件。果然，GPT-5.6 Sol（高）反复发现了结构中的冗余，并用更清晰的确定性算法替代。
最后的对话
以下是导致突破和后续简化的线索。如果你想了解这个过程，视频中描述了解决方案，并展示了我们与GPT-5.6 Sol的互动。
经过数十次长时间的对话和数天的推理，猜测终于被解开。结果是构造性的：它不仅断言这些六边形存在，还给出了从相对低阶开始构建它们的算法。
结合我之前用暴力破解找到的有限见证人数，最高可达$n=21美元，它覆盖了所有订单$n>3美元。
需要注意的是，撰写本文时该证明尚未在精益中形式化，也未被独立验证。这将是自然而然的下一步。
Python 实现
六边形建筑套件可在古科夫/魔法六边形仓库。
这里有一些阶数更大、由构造产生的六边形。注意到这个规律了吗？
秩序
500
加载中......
第四章：反思
- 我以人工智能作为副驾驶、自己掌控驾驶的角度开始了这个项目。到最后，我更像是个乘客：AI承担了大部分创作工作，而我则引导它走向那些看起来有前景的方向。我很高兴一些诞生在我人类大脑中的点子最终成为了工具性。反对称性在最终构造中起着重要作用，而势场——嗯，就没那么重要了。然而，它们的流畅度依然令人感兴趣，也许还有更多值得发掘的地方。
- GPT-5.6 Sol 是一位极具数学能力的推理者，但它有双刃剑的隧道视野倾向。它可以深入某个特定方向。当这个方向正确时，这部电影的力量非常强大。当它错了，你最好让仲裁者介入——另一个模型，或者像我这样是真人——提醒它更宏观的局面，并注意到有意义的进展停止。
- 模特必须能接入互联网。它发现了我无法预料的相关论文和数学概念，提前提供了。这也是我使用ChatGPT网页界面而非Codex的原因之一。另一个是个人原因：我希望这个项目在休息期间主要作为脑力锻炼，而不是变成另一个让我一直坐在电脑前的软件工程项目。然而，对于严肃的证明活动，我会采用更系统的设置：多个模型并行工作，明确提出和批评论点的角色，持续共享上下文，并通过诸如exa.ai.
- 在软件工程领域，随着大型语言模型（LLM）使代码生成成本降低，代码审查成了瓶颈。静态类型语言、静态分析和测试突然变得比以往任何时候都更重要，因为它们可以减轻人类不断增加的正确性验证负担。数学现在也面临类似的问题。人工智能能比人们负责任地验证它们的速度更快地产生候选理论和证明。精益及其他机器验证证明系统必将极大地惠及社区，提供一种在生成过程中扩展验证的方式。
- 我想知道这个项目中发现的技术是否可以应用于其他组合构造问题，发展成比单一六边形谜题更通用的解决方案。赫夫特阵列自然浮现在脑海。
- 有趣的是，这个故事一开始是对数字19的兴趣，却以每笔超过3美元的订单都被构建出魔法六边形告终。剩下的挑战是让证明现在就可被机器验证亚里士多德以及LeanProver/比较器有些工作要做。
点赞
收藏
点踩
分享