傅里叶变换笔记

傅里叶级数是分析周期函数的绝佳工具。然而，对于那些不重复的函数又该如何处理呢？我们已经见识过 只要我们不关心该函数在该区间之外的行为，就可以对定义在有限区间上的非周期函数进行傅里叶级数的计算。

接下来，我们将这一思路拓展到那些从不重复的函数——也就是定义在区间 (-∞, +∞) 上的非周期函数。

可视化非重复函数的傅里叶级数

为了更好地引出这一主题，让我们回顾一下之前在 关于傅里叶级数的帖子 中使用的例子：

[t(x)= \begin{cases} x & 0 \leq x \leq 1 \ 2-x & 1 < x \leq 2 \ \end{cases}]

通过将 t(x) 进行奇性延拓，扩展至区间 [-2, 0]。在那篇文章中，为了使傅里叶级数得以应用，我们假设 t(x) 在整个 x 轴上以周期 2L=4 持续重复。然而，现实情况是，t(x) 并不会重复——事实上，它根本不会重复。 接下来，让我们来观察我们的傅里叶级数是如何运作的。

请记住，用于近似 t(x) 的傅里叶级数正是正弦级数（因为 t(x) 是一个奇函数）：

[t(x)=\frac{8}{\pi^2}\bigg[ sin\frac{\pi x}{2}-\frac{1}{3^2} sin\frac{3\pi x}{2}+\frac{1}{5^2}sin\frac{5\pi x}{2}-\cdots\bigg]]

以下可视化操作是交互式的。默认情况下，它会显示 t(x)（及其奇性延拓）以及未进行傅里叶级数近似的图像。接下来，我们将按照一系列步骤逐步观察结果：

n（傅里叶级数中的项数）

L

x min

x max

步骤 1：将参数设置为一个非零数值；此时，已达到 3，近似结果已经非常理想。

频率间隔为 (\frac{\pi}{L})（这是正弦项中 x 的系数）。请注意，正如预期的那样，傅里叶级数每 2L 重复一次。

步骤 2：将 L 增加到 6。这意味着我们的级数是基于 t(x) 的周期为 12 来构建的，而非 4。注意，此时傅里叶级数的规律已经发生了变化——它们每 12 个点就重复一次，且与 t(x) 的匹配度不如之前那么好。我们可以继续增加数值，以进一步提升匹配效果。 随着 L 的增大，相邻频率之间的间隔会逐渐减小。

步骤 3：将 L 增加到 10。此时，我们不再看到重复的模式，因此可以随意调整 x min 和 x max 的值，直到你满意为止。再次提醒，我们需要不断增加更多的项数，以便用更大的 L 更好地匹配 t(x)，而相邻频率之间的间隔也会随之变小。

L 的不断增大意味着，我们的函数会在越来越大的间隔内重复出现。 这一过程的逻辑结论是：如果函数从未重复，即 L 趋于无穷大，会发生什么？尽管这一推论在数学上并不严谨，但通过直观的实验， 我们仍能得出一些猜想：要获得良好的近似结果，我们很可能需要无限多的项； 此外，这些项之间的间隔也将趋于零。

换句话说，我们不再拥有离散的系数集合，而是最终得到一条连续的曲线，或称作函数。 通过这一过程生成的函数，就是 t(x) 的傅里叶变换；下一节将展示其数学推导过程。

当 L 趋于无穷大时，傅里叶级数转化为傅里叶变换

在本笔记中，我们将采用复指数形式的傅里叶级数公式：

[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\cdot e^{in\pi x/L}]

其中：

[C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}dx]

我们关注的是定义在区间 (-∞, +∞) 上的非周期函数。因此，我们将探索上述公式，在 L 趋于无穷大时的情形。

首先，我们稍作符号替换。不再使用以周期（2L）为单位的公式，而是采用第 n 个谐波角频率 w_n：

[w_n=\frac{n\pi}{L}]

于是，我们可以将级数略作改写为：

[f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\cdot e^{i w_n x}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\cdot e^{i\cdot n \Delta w x}]

利用 (\Delta w) 表示两个相邻频率之间的差值：

[\Delta w=w_n-w_{n-1}=\frac{n\pi}{L}-\frac{(n-1)\pi}{L}=\frac{\pi}{L}]

借助这一记号，C_n 可以表示为：

[C_n=\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{-\pi/\Delta w}^{\pi/\Delta w}f(x)e^{-i\cdot n \Delta w x}dx]

目前，这里并没有带来新的洞见，只是引入了新的符号。接下来，我们将利用这些符号来推进下一步。

由于 L 趋于无穷大，(\Delta w) 将趋于零。让我们来计算当 (\Delta w) 趋于零时，傅里叶级数表示的极限：

[f(x)=\lim_{\Delta w\rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n\cdot e^{i\cdot n \Delta w x}]

并将最新的 C_n 代入此式，同时将变量 x 替换为 t，以避免混淆。[1]

[f(x)=\lim_{\Delta w\rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{-\pi/\Delta w}^{\pi/\Delta w}f(t)e^{-i\cdot n \Delta w t}dt\right]\cdot e^{i\cdot n \Delta w x}]

稍作整理，并将 n\Delta w 替换为 w_n：

[f(x)=\frac{1}{2\pi}\lim_{\Delta w\rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\pi/\Delta w}^{\pi/\Delta w}f(t)e^{-i\cdot w_n t}dt\right]\cdot e^{i\cdot w_n x}\Delta w]

仔细观察求和的极限，这实际上是一个黎曼和！ w_n 是“采样”后的版本，而 (\Delta w) 趋于零。因此，我们可以将其替换为积分，将 w_n 替换为 dw，将 (\Delta w) 替换为 dw。[2]

[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\cdot wt}dt\right]\cdot e^{i\cdot w x}dw]

内部的积分被称为 f 的傅里叶变换，并用 [3] 标记：

[\boxed{\hat{f}(w)=\mathcal{F}\left[f(x)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\cdot wx}dx}]

完整的方程则为逆傅里叶变换：

[\boxed{f(x)=\mathcal{F}^{-1}\left[\hat{f}(w)\right]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{i\cdot w x}dw}]

举例计算傅里叶变换

让我们以自己最喜爱的奇性三角脉冲为例，计算其傅里叶变换。 该函数的数学定义及图形已在前文介绍。 请注意，我们并未对这个函数进行周期性延拓——在区间 [-2, 2] 之外，函数值为零；这也正是我们在此处需要使用傅里叶变换的原因——正如我们所见， 傅里叶级数无法实现这一目标，因为它们所重建的函数最终会开始重复。

我们希望找到：

[\hat{t}(w)=\int_{-\infty}^{\infty}t(x)e^{-iwx}dx]

为了计算该积分，我们先利用欧拉公式对复指数进行分解：

[\hat{t}(w)=\int_{-\infty}^{\infty}t(x)cos(wx)dx-i\int_{-\infty}^{\infty}t(x)sin(wx)dx]

由于 t(x) 是奇函数，第一积分为零。 此外，t(x)sin(wx) 是偶函数，因此我们可以将其写成：

[\hat{t}(w)=-2i\int_{0}^{\infty}t(x)sin(wx)dx]

我们在 关于傅里叶级数的帖子 中已经计算过类似的积分，因此我们直接跳转到结果：

[\hat{t}(w)=-2i\cdot\frac{2\cdot sin(w)-sin(2w)}{w^2}]

唯一剩下的难题在于，当 w 趋于 0 时，其值似乎为未定义（除以零）。不过，请注意，随着 w 趋于 0，分子也趋于 0，因此我们可以运用洛必达法则（两次！ ）来求得：

[\lim_{w\rightarrow 0} \hat{t}(w)=0]

因此：

[\hat{t}(w)= \begin{cases} • 2i\cdot\frac{2\cdot sin(w)-sin(2w)}{w^2} & w\neq 0 \ 0 & w=0 \ \end{cases}]

该函数具有复数值；事实上，它的实部为纯虚数。那么，我们该如何将其可视化呢？通常，我们可以通过分别绘制复数值的模和相位来直观地呈现这些函数。

(\hat{t}(w)) 的模为：

[|\hat{t}(w)|=\sqrt{\hat{t}(w)\cdot\hat{t}(w)^*}=2\left|\frac{2\cdot sin(w)-sin(2w)}{w^2} \right|]

由于 (\hat{t}(w)) 是纯虚数，其相位只有两种可能：

当分子为正时，我们得到一个负的虚数，相位为 -π/2；当分子为负时，我们得到一个正的虚数，相位为 π/2。最后，当 (\hat{t}(w)=0)（根据我们之前的分析，这发生在 w=0 时，但每当 w 是 π 的整数倍时，也会发生这种情况），相位则未定义。

以下是 (\hat{t}(w)) 的模和相位随 w 的变化图：

人们常将 (\hat{t}(w)) 称为 t(x) 的频域表示。

函数的频域表示……